Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50649 / 49207
↖ ↑ ↗
← S 66.633377°
E 98.223266°		 ← 242.27 m → S 66.633377°
E 98.228760°		 →
↑
242.29 m
↓
↑
242.29 m
↓
S 66.635556°
E 98.223266°		 ← 242.25 m →
58 697 m²		 S 66.635556°
E 98.228760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772850036621094 y=0.750846862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772850036621094 × 216)
    floor (0.772850036621094 × 65536)
    floor (50649.5)     		tx = 50649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750846862792969 × 216)
    floor (0.750846862792969 × 65536)
    floor (49207.5)     		ty = 49207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50649 / 49207 ti = "16/50649/49207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50649/49207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50649 ÷ 216
    50649 ÷ 65536     		x = 0.772842407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49207 ÷ 216
    49207 ÷ 65536     		y = 0.750839233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772842407226562 × 2 - 1) × π
    0.545684814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71431940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750839233398438 × 2 - 1) × π
    -0.501678466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57606938570821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71431940} λ = 1.71431940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57606938570821))-π/2
    2×atan(0.206786300086091)-π/2
    2×0.203912251365047-π/2
    0.407824502730093-1.57079632675     		φ = -1.16297182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71431940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.223266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16297182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.633377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50649 KachelY 49207 1.71431940 -1.16297182 98.223266 -66.633377
    Oben rechts KachelX + 1 50650 KachelY 49207 1.71441528 -1.16297182 98.228760 -66.633377
    Unten links KachelX 50649 KachelY + 1 49208 1.71431940 -1.16300985 98.223266 -66.635556
    Unten rechts KachelX + 1 50650 KachelY + 1 49208 1.71441528 -1.16300985 98.228760 -66.635556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16297182--1.16300985) × R
    3.80299999998002e-05 × 6371000     		dl = 242.289129998727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16297182--1.16300985) × R
    3.80299999998002e-05 × 6371000     		dr = 242.289129998727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71431940-1.71441528) × cos(-1.16297182) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.396613196177023 × 6371000     		do = 242.271757872667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71431940-1.71441528) × cos(-1.16300985) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.396578284889347 × 6371000     		du = 242.250432260922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16297182)-sin(-1.16300985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396613196177023-0.396578284889347)×R²
    abs(1.71441528-1.71431940)×3.49112876759095e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.49112876759095e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.49112876759095e-05×40589641000000     		ar = 58697.2299634131m²