Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50649 / 49199
↖ ↑ ↗
← S 66.615942°
E 98.223266°		 ← 242.44 m → S 66.615942°
E 98.228760°		 →
↑
242.42 m
↓
↑
242.42 m
↓
S 66.618122°
E 98.223266°		 ← 242.42 m →
58 769 m²		 S 66.618122°
E 98.228760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772850036621094 y=0.750724792480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772850036621094 × 216)
    floor (0.772850036621094 × 65536)
    floor (50649.5)     		tx = 50649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750724792480469 × 216)
    floor (0.750724792480469 × 65536)
    floor (49199.5)     		ty = 49199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50649 / 49199 ti = "16/50649/49199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50649/49199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50649 ÷ 216
    50649 ÷ 65536     		x = 0.772842407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49199 ÷ 216
    49199 ÷ 65536     		y = 0.750717163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772842407226562 × 2 - 1) × π
    0.545684814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71431940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750717163085938 × 2 - 1) × π
    -0.501434326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57530239531429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71431940} λ = 1.71431940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57530239531429))-π/2
    2×atan(0.206944964030934)-π/2
    2×0.204064404175123-π/2
    0.408128808350246-1.57079632675     		φ = -1.16266752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71431940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.223266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16266752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.615942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50649 KachelY 49199 1.71431940 -1.16266752 98.223266 -66.615942
    Oben rechts KachelX + 1 50650 KachelY 49199 1.71441528 -1.16266752 98.228760 -66.615942
    Unten links KachelX 50649 KachelY + 1 49200 1.71431940 -1.16270557 98.223266 -66.618122
    Unten rechts KachelX + 1 50650 KachelY + 1 49200 1.71441528 -1.16270557 98.228760 -66.618122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16266752--1.16270557) × R
    3.80499999999007e-05 × 6371000     		dl = 242.416549999367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16266752--1.16270557) × R
    3.80499999999007e-05 × 6371000     		dr = 242.416549999367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71431940-1.71441528) × cos(-1.16266752) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.39689252089599 × 6371000     		do = 242.442383790649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71431940-1.71441528) × cos(-1.16270557) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.396857595841942 × 6371000     		du = 242.421049769695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16266752)-sin(-1.16270557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39689252089599-0.396857595841942)×R²
    abs(1.71441528-1.71431940)×3.49250540477852e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.49250540477852e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.49250540477852e-05×40589641000000     		ar = 58769.4603992464m²