Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50649 / 49198
↖ ↑ ↗
← S 66.613762°
E 98.223266°		 ← 242.46 m → S 66.613762°
E 98.228760°		 →
↑
242.42 m
↓
↑
242.42 m
↓
S 66.615942°
E 98.223266°		 ← 242.44 m →
58 775 m²		 S 66.615942°
E 98.228760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772850036621094 y=0.750709533691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772850036621094 × 216)
    floor (0.772850036621094 × 65536)
    floor (50649.5)     		tx = 50649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750709533691406 × 216)
    floor (0.750709533691406 × 65536)
    floor (49198.5)     		ty = 49198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50649 / 49198 ti = "16/50649/49198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50649/49198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50649 ÷ 216
    50649 ÷ 65536     		x = 0.772842407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49198 ÷ 216
    49198 ÷ 65536     		y = 0.750701904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772842407226562 × 2 - 1) × π
    0.545684814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71431940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750701904296875 × 2 - 1) × π
    -0.50140380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57520652151505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71431940} λ = 1.71431940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57520652151505))-π/2
    2×atan(0.206964805581997)-π/2
    2×0.204083430809273-π/2
    0.408166861618547-1.57079632675     		φ = -1.16262947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71431940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.223266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16262947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.613762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50649 KachelY 49198 1.71431940 -1.16262947 98.223266 -66.613762
    Oben rechts KachelX + 1 50650 KachelY 49198 1.71441528 -1.16262947 98.228760 -66.613762
    Unten links KachelX 50649 KachelY + 1 49199 1.71431940 -1.16266752 98.223266 -66.615942
    Unten rechts KachelX + 1 50650 KachelY + 1 49199 1.71441528 -1.16266752 98.228760 -66.615942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16262947--1.16266752) × R
    3.80500000001227e-05 × 6371000     		dl = 242.416550000782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16262947--1.16266752) × R
    3.80500000001227e-05 × 6371000     		dr = 242.416550000782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71431940-1.71441528) × cos(-1.16262947) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.396927445375416 × 6371000     		do = 242.463717460594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71431940-1.71441528) × cos(-1.16266752) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.39689252089599 × 6371000     		du = 242.442383790649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16262947)-sin(-1.16266752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396927445375416-0.39689252089599)×R²
    abs(1.71441528-1.71431940)×3.49244794260462e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.49244794260462e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.49244794260462e-05×40589641000000     		ar = 58774.6320771638m²