Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50648 / 52824
↖ ↑ ↗
← N 32.934928°
W 40.891113°		 ← 256.34 m → N 32.934928°
W 40.888366°		 →
↑
256.31 m
↓
↑
256.31 m
↓
N 32.932623°
W 40.891113°		 ← 256.35 m →
65 702 m²		 N 32.932623°
W 40.888366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386417388916016 y=0.403018951416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386417388916016 × 217)
    floor (0.386417388916016 × 131072)
    floor (50648.5)     		tx = 50648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.403018951416016 × 217)
    floor (0.403018951416016 × 131072)
    floor (52824.5)     		ty = 52824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50648 / 52824 ti = "17/50648/52824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50648/52824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50648 ÷ 217
    50648 ÷ 131072     		x = 0.38641357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52824 ÷ 217
    52824 ÷ 131072     		y = 0.40301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38641357421875 × 2 - 1) × π
    -0.2271728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71368456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40301513671875 × 2 - 1) × π
    0.1939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.609373867970154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71368456} λ = -0.71368456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.609373867970154))-π/2
    2×atan(1.83927940642142)-π/2
    2×1.07280963548262-π/2
    2.14561927096524-1.57079632675     		φ = 0.57482294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71368456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.891113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57482294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.934928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50648 KachelY 52824 -0.71368456 0.57482294 -40.891113 32.934928
    Oben rechts KachelX + 1 50649 KachelY 52824 -0.71363662 0.57482294 -40.888366 32.934928
    Unten links KachelX 50648 KachelY + 1 52825 -0.71368456 0.57478271 -40.891113 32.932623
    Unten rechts KachelX + 1 50649 KachelY + 1 52825 -0.71363662 0.57478271 -40.888366 32.932623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57482294-0.57478271) × R
    4.02299999999745e-05 × 6371000     		dl = 256.305329999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57482294-0.57478271) × R
    4.02299999999745e-05 × 6371000     		dr = 256.305329999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71368456--0.71363662) × cos(0.57482294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839288580653748 × 6371000     		do = 256.340335819553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71368456--0.71363662) × cos(0.57478271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839310452470183 × 6371000     		du = 256.347016035272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57482294)-sin(0.57478271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839288580653748-0.839310452470183)×R²
    abs(-0.71363662--0.71368456)×2.18718164352039e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18718164352039e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18718164352039e-05×40589641000000     		ar = 65702.2504609161m²