Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50648 / 49113
↖ ↑ ↗
← S 66.427734°
E 98.217773°		 ← 244.26 m → S 66.427734°
E 98.223266°		 →
↑
244.26 m
↓
↑
244.26 m
↓
S 66.429931°
E 98.217773°		 ← 244.24 m →
59 661 m²		 S 66.429931°
E 98.223266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772834777832031 y=0.749412536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772834777832031 × 216)
    floor (0.772834777832031 × 65536)
    floor (50648.5)     		tx = 50648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749412536621094 × 216)
    floor (0.749412536621094 × 65536)
    floor (49113.5)     		ty = 49113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50648 / 49113 ti = "16/50648/49113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50648/49113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50648 ÷ 216
    50648 ÷ 65536     		x = 0.7728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49113 ÷ 216
    49113 ÷ 65536     		y = 0.749404907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7728271484375 × 2 - 1) × π
    0.545654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71422353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749404907226562 × 2 - 1) × π
    -0.498809814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56705724857964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71422353} λ = 1.71422353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56705724857964))-π/2
    2×atan(0.208658309310546)-π/2
    2×0.20570682681315-π/2
    0.4114136536263-1.57079632675     		φ = -1.15938267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71422353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15938267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.427734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50648 KachelY 49113 1.71422353 -1.15938267 98.217773 -66.427734
    Oben rechts KachelX + 1 50649 KachelY 49113 1.71431940 -1.15938267 98.223266 -66.427734
    Unten links KachelX 50648 KachelY + 1 49114 1.71422353 -1.15942101 98.217773 -66.429931
    Unten rechts KachelX + 1 50649 KachelY + 1 49114 1.71431940 -1.15942101 98.223266 -66.429931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15938267--1.15942101) × R
    3.83399999999146e-05 × 6371000     		dl = 244.264139999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15938267--1.15942101) × R
    3.83399999999146e-05 × 6371000     		dr = 244.264139999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71422353-1.71431940) × cos(-1.15938267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399905423340051 × 6371000     		do = 244.25734173277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71422353-1.71431940) × cos(-1.15942101) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399870282273386 × 6371000     		du = 244.235877999026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15938267)-sin(-1.15942101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399905423340051-0.399870282273386)×R²
    abs(1.71431940-1.71422353)×3.51410666654117e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51410666654117e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51410666654117e-05×40589641000000     		ar = 59660.6881139851m²