Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50647 / 49369
↖ ↑ ↗
← S 66.983814°
E 98.212280°		 ← 238.81 m → S 66.983814°
E 98.217773°		 →
↑
238.79 m
↓
↑
238.79 m
↓
S 66.985961°
E 98.212280°		 ← 238.79 m →
57 022 m²		 S 66.985961°
E 98.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772819519042969 y=0.753318786621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772819519042969 × 216)
    floor (0.772819519042969 × 65536)
    floor (50647.5)     		tx = 50647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753318786621094 × 216)
    floor (0.753318786621094 × 65536)
    floor (49369.5)     		ty = 49369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50647 / 49369 ti = "16/50647/49369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50647/49369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50647 ÷ 216
    50647 ÷ 65536     		x = 0.772811889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49369 ÷ 216
    49369 ÷ 65536     		y = 0.753311157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772811889648438 × 2 - 1) × π
    0.545623779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71412766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753311157226562 × 2 - 1) × π
    -0.506622314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5916009411851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71412766} λ = 1.71412766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5916009411851))-π/2
    2×atan(0.203599400016251)-π/2
    2×0.200854113620092-π/2
    0.401708227240184-1.57079632675     		φ = -1.16908810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71412766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.212280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16908810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.983814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50647 KachelY 49369 1.71412766 -1.16908810 98.212280 -66.983814
    Oben rechts KachelX + 1 50648 KachelY 49369 1.71422353 -1.16908810 98.217773 -66.983814
    Unten links KachelX 50647 KachelY + 1 49370 1.71412766 -1.16912558 98.212280 -66.985961
    Unten rechts KachelX + 1 50648 KachelY + 1 49370 1.71422353 -1.16912558 98.217773 -66.985961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16908810--1.16912558) × R
    3.74800000000342e-05 × 6371000     		dl = 238.785080000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16908810--1.16912558) × R
    3.74800000000342e-05 × 6371000     		dr = 238.785080000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71412766-1.71422353) × cos(-1.16908810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390991154444368 × 6371000     		do = 238.812615312796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71412766-1.71422353) × cos(-1.16912558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390956657786306 × 6371000     		du = 238.791545175946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16908810)-sin(-1.16912558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390991154444368-0.390956657786306)×R²
    abs(1.71422353-1.71412766)×3.44966580619888e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44966580619888e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44966580619888e-05×40589641000000     		ar = 57022.3738420448m²