Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50646 / 49367
↖ ↑ ↗
← S 66.979518°
E 98.206787°		 ← 238.88 m → S 66.979518°
E 98.212280°		 →
↑
238.85 m
↓
↑
238.85 m
↓
S 66.981666°
E 98.206787°		 ← 238.86 m →
57 054 m²		 S 66.981666°
E 98.212280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772804260253906 y=0.753288269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772804260253906 × 216)
    floor (0.772804260253906 × 65536)
    floor (50646.5)     		tx = 50646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753288269042969 × 216)
    floor (0.753288269042969 × 65536)
    floor (49367.5)     		ty = 49367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50646 / 49367 ti = "16/50646/49367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50646/49367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50646 ÷ 216
    50646 ÷ 65536     		x = 0.772796630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49367 ÷ 216
    49367 ÷ 65536     		y = 0.753280639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772796630859375 × 2 - 1) × π
    0.54559326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71403178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753280639648438 × 2 - 1) × π
    -0.506561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59140919358662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71403178} λ = 1.71403178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59140919358662))-π/2
    2×atan(0.20363844345538)-π/2
    2×0.200891602735549-π/2
    0.401783205471097-1.57079632675     		φ = -1.16901312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71403178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.206787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16901312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.979518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50646 KachelY 49367 1.71403178 -1.16901312 98.206787 -66.979518
    Oben rechts KachelX + 1 50647 KachelY 49367 1.71412766 -1.16901312 98.212280 -66.979518
    Unten links KachelX 50646 KachelY + 1 49368 1.71403178 -1.16905061 98.206787 -66.981666
    Unten rechts KachelX + 1 50647 KachelY + 1 49368 1.71412766 -1.16905061 98.212280 -66.981666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16901312--1.16905061) × R
    3.74899999999734e-05 × 6371000     		dl = 238.84878999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16901312--1.16905061) × R
    3.74899999999734e-05 × 6371000     		dr = 238.84878999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71403178-1.71412766) × cos(-1.16901312) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.391060164520011 × 6371000     		do = 238.879680265935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71403178-1.71412766) × cos(-1.16905061) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.391025659756983 × 6371000     		du = 238.858602980373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16901312)-sin(-1.16905061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391060164520011-0.391025659756983)×R²
    abs(1.71412766-1.71403178)×3.45047630281314e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.45047630281314e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.45047630281314e-05×40589641000000     		ar = 57053.6054514268m²