Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50644 / 48835
↖ ↑ ↗
← S 65.809530°
E 98.195801°		 ← 250.28 m → S 65.809530°
E 98.201294°		 →
↑
250.25 m
↓
↑
250.25 m
↓
S 65.811781°
E 98.195801°		 ← 250.26 m →
62 631 m²		 S 65.811781°
E 98.201294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772773742675781 y=0.745170593261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772773742675781 × 216)
    floor (0.772773742675781 × 65536)
    floor (50644.5)     		tx = 50644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745170593261719 × 216)
    floor (0.745170593261719 × 65536)
    floor (48835.5)     		ty = 48835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50644 / 48835 ti = "16/50644/48835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50644/48835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50644 ÷ 216
    50644 ÷ 65536     		x = 0.77276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48835 ÷ 216
    48835 ÷ 65536     		y = 0.745162963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77276611328125 × 2 - 1) × π
    0.5455322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71384004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745162963867188 × 2 - 1) × π
    -0.490325927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54040433239088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71384004} λ = 1.71384004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54040433239088))-π/2
    2×atan(0.214294437725329)-π/2
    2×0.211101673667179-π/2
    0.422203347334358-1.57079632675     		φ = -1.14859298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71384004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.195801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14859298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.809530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50644 KachelY 48835 1.71384004 -1.14859298 98.195801 -65.809530
    Oben rechts KachelX + 1 50645 KachelY 48835 1.71393591 -1.14859298 98.201294 -65.809530
    Unten links KachelX 50644 KachelY + 1 48836 1.71384004 -1.14863226 98.195801 -65.811781
    Unten rechts KachelX + 1 50645 KachelY + 1 48836 1.71393591 -1.14863226 98.201294 -65.811781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14859298--1.14863226) × R
    3.92799999999749e-05 × 6371000     		dl = 250.25287999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14859298--1.14863226) × R
    3.92799999999749e-05 × 6371000     		dr = 250.25287999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71384004-1.71393591) × cos(-1.14859298) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.409771313237329 × 6371000     		do = 250.283306622194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71384004-1.71393591) × cos(-1.14863226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.409735482165305 × 6371000     		du = 250.261421441616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14859298)-sin(-1.14863226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409771313237329-0.409735482165305)×R²
    abs(1.71393591-1.71384004)×3.58310720239841e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.58310720239841e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.58310720239841e-05×40589641000000     		ar = 62631.3798914864m²