Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50641 / 49133
↖ ↑ ↗
← S 66.471630°
E 98.179321°		 ← 243.85 m → S 66.471630°
E 98.184815°		 →
↑
243.82 m
↓
↑
243.82 m
↓
S 66.473823°
E 98.179321°		 ← 243.83 m →
59 453 m²		 S 66.473823°
E 98.184815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772727966308594 y=0.749717712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772727966308594 × 216)
    floor (0.772727966308594 × 65536)
    floor (50641.5)     		tx = 50641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749717712402344 × 216)
    floor (0.749717712402344 × 65536)
    floor (49133.5)     		ty = 49133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50641 / 49133 ti = "16/50641/49133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50641/49133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50641 ÷ 216
    50641 ÷ 65536     		x = 0.772720336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49133 ÷ 216
    49133 ÷ 65536     		y = 0.749710083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772720336914062 × 2 - 1) × π
    0.545440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71355241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749710083007812 × 2 - 1) × π
    -0.499420166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56897472456444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71355241} λ = 1.71355241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56897472456444))-π/2
    2×atan(0.208258595356837)-π/2
    2×0.205323759045329-π/2
    0.410647518090658-1.57079632675     		φ = -1.16014881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71355241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.179321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16014881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.471630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50641 KachelY 49133 1.71355241 -1.16014881 98.179321 -66.471630
    Oben rechts KachelX + 1 50642 KachelY 49133 1.71364829 -1.16014881 98.184815 -66.471630
    Unten links KachelX 50641 KachelY + 1 49134 1.71355241 -1.16018708 98.179321 -66.473823
    Unten rechts KachelX + 1 50642 KachelY + 1 49134 1.71364829 -1.16018708 98.184815 -66.473823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16014881--1.16018708) × R
    3.82700000001179e-05 × 6371000     		dl = 243.818170000751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16014881--1.16018708) × R
    3.82700000001179e-05 × 6371000     		dr = 243.818170000751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71355241-1.71364829) × cos(-1.16014881) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.39920309551459 × 6371000     		do = 243.853801716074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71355241-1.71364829) × cos(-1.16018708) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.399168006893457 × 6371000     		du = 243.832367779923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16014881)-sin(-1.16018708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39920309551459-0.399168006893457)×R²
    abs(1.71364829-1.71355241)×3.50886211328838e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.50886211328838e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.50886211328838e-05×40589641000000     		ar = 59453.3746979615m²