Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50641 / 48846
↖ ↑ ↗
← S 65.834278°
E 98.179321°		 ← 250.07 m → S 65.834278°
E 98.184815°		 →
↑
250.06 m
↓
↑
250.06 m
↓
S 65.836527°
E 98.179321°		 ← 250.05 m →
62 530 m²		 S 65.836527°
E 98.184815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772727966308594 y=0.745338439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772727966308594 × 216)
    floor (0.772727966308594 × 65536)
    floor (50641.5)     		tx = 50641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745338439941406 × 216)
    floor (0.745338439941406 × 65536)
    floor (48846.5)     		ty = 48846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50641 / 48846 ti = "16/50641/48846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50641/48846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50641 ÷ 216
    50641 ÷ 65536     		x = 0.772720336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48846 ÷ 216
    48846 ÷ 65536     		y = 0.745330810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772720336914062 × 2 - 1) × π
    0.545440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71355241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745330810546875 × 2 - 1) × π
    -0.49066162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54145894418253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71355241} λ = 1.71355241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54145894418253))-π/2
    2×atan(0.214068559412322)-π/2
    2×0.210885702743391-π/2
    0.421771405486781-1.57079632675     		φ = -1.14902492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71355241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.179321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14902492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.834278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50641 KachelY 48846 1.71355241 -1.14902492 98.179321 -65.834278
    Oben rechts KachelX + 1 50642 KachelY 48846 1.71364829 -1.14902492 98.184815 -65.834278
    Unten links KachelX 50641 KachelY + 1 48847 1.71355241 -1.14906417 98.179321 -65.836527
    Unten rechts KachelX + 1 50642 KachelY + 1 48847 1.71364829 -1.14906417 98.184815 -65.836527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14902492--1.14906417) × R
    3.92499999999352e-05 × 6371000     		dl = 250.061749999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14902492--1.14906417) × R
    3.92499999999352e-05 × 6371000     		dr = 250.061749999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71355241-1.71364829) × cos(-1.14902492) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.409377264414956 × 6371000     		do = 250.068707846643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71355241-1.71364829) × cos(-1.14906417) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.40934145376559 × 6371000     		du = 250.046832858477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14902492)-sin(-1.14906417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409377264414956-0.40934145376559)×R²
    abs(1.71364829-1.71355241)×3.5810649366308e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.5810649366308e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.5810649366308e-05×40589641000000     		ar = 62529.88366316m²