Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50640 / 49104
↖ ↑ ↗
← S 66.407955°
E 98.173828°		 ← 244.45 m → S 66.407955°
E 98.179321°		 →
↑
244.46 m
↓
↑
244.46 m
↓
S 66.410154°
E 98.173828°		 ← 244.43 m →
59 755 m²		 S 66.410154°
E 98.179321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772712707519531 y=0.749275207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772712707519531 × 216)
    floor (0.772712707519531 × 65536)
    floor (50640.5)     		tx = 50640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749275207519531 × 216)
    floor (0.749275207519531 × 65536)
    floor (49104.5)     		ty = 49104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50640 / 49104 ti = "16/50640/49104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50640/49104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50640 ÷ 216
    50640 ÷ 65536     		x = 0.772705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49104 ÷ 216
    49104 ÷ 65536     		y = 0.749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772705078125 × 2 - 1) × π
    0.54541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71345654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.49853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56619438438647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71345654} λ = 1.71345654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56619438438647))-π/2
    2×atan(0.208838430793269)-π/2
    2×0.205879427086346-π/2
    0.411758854172693-1.57079632675     		φ = -1.15903747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71345654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15903747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.407955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50640 KachelY 49104 1.71345654 -1.15903747 98.173828 -66.407955
    Oben rechts KachelX + 1 50641 KachelY 49104 1.71355241 -1.15903747 98.179321 -66.407955
    Unten links KachelX 50640 KachelY + 1 49105 1.71345654 -1.15907584 98.173828 -66.410154
    Unten rechts KachelX + 1 50641 KachelY + 1 49105 1.71355241 -1.15907584 98.179321 -66.410154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15903747--1.15907584) × R
    3.83700000001763e-05 × 6371000     		dl = 244.455270001123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15903747--1.15907584) × R
    3.83700000001763e-05 × 6371000     		dr = 244.455270001123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71345654-1.71355241) × cos(-1.15903747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400221794779465 × 6371000     		do = 244.450577538742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71345654-1.71355241) × cos(-1.15907584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400186631514386 × 6371000     		du = 244.429100246478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15903747)-sin(-1.15907584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400221794779465-0.400186631514386)×R²
    abs(1.71355241-1.71345654)×3.51632650788525e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51632650788525e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51632650788525e-05×40589641000000     		ar = 59754.6068231582m²