Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50639 / 49233
↖ ↑ ↗
← S 66.689958°
E 98.168335°		 ← 241.69 m → S 66.689958°
E 98.173828°		 →
↑
241.65 m
↓
↑
241.65 m
↓
S 66.692131°
E 98.168335°		 ← 241.67 m →
58 403 m²		 S 66.692131°
E 98.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772697448730469 y=0.751243591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772697448730469 × 216)
    floor (0.772697448730469 × 65536)
    floor (50639.5)     		tx = 50639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751243591308594 × 216)
    floor (0.751243591308594 × 65536)
    floor (49233.5)     		ty = 49233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50639 / 49233 ti = "16/50639/49233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50639/49233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50639 ÷ 216
    50639 ÷ 65536     		x = 0.772689819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49233 ÷ 216
    49233 ÷ 65536     		y = 0.751235961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772689819335938 × 2 - 1) × π
    0.545379638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71336067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751235961914062 × 2 - 1) × π
    -0.502471923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57856210448845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71336067} λ = 1.71336067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57856210448845))-π/2
    2×atan(0.206271481907416)-π/2
    2×0.2034184940119-π/2
    0.4068369880238-1.57079632675     		φ = -1.16395934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71336067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.168335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16395934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.689958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50639 KachelY 49233 1.71336067 -1.16395934 98.168335 -66.689958
    Oben rechts KachelX + 1 50640 KachelY 49233 1.71345654 -1.16395934 98.173828 -66.689958
    Unten links KachelX 50639 KachelY + 1 49234 1.71336067 -1.16399727 98.168335 -66.692131
    Unten rechts KachelX + 1 50640 KachelY + 1 49234 1.71345654 -1.16399727 98.173828 -66.692131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16395934--1.16399727) × R
    3.79300000001859e-05 × 6371000     		dl = 241.652030001184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16395934--1.16399727) × R
    3.79300000001859e-05 × 6371000     		dr = 241.652030001184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71336067-1.71345654) × cos(-1.16395934) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395706473575952 × 6371000     		do = 241.692674570014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71336067-1.71345654) × cos(-1.16399727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395671639250201 × 6371000     		du = 241.67139818987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16395934)-sin(-1.16399727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395706473575952-0.395671639250201)×R²
    abs(1.71345654-1.71336067)×3.48343257503547e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48343257503547e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48343257503547e-05×40589641000000     		ar = 58402.9547126278m²