Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50635 / 49100
↖ ↑ ↗
← S 66.399160°
E 98.146362°		 ← 244.54 m → S 66.399160°
E 98.151855°		 →
↑
244.58 m
↓
↑
244.58 m
↓
S 66.401359°
E 98.146362°		 ← 244.52 m →
59 807 m²		 S 66.401359°
E 98.151855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772636413574219 y=0.749214172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772636413574219 × 216)
    floor (0.772636413574219 × 65536)
    floor (50635.5)     		tx = 50635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749214172363281 × 216)
    floor (0.749214172363281 × 65536)
    floor (49100.5)     		ty = 49100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50635 / 49100 ti = "16/50635/49100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50635/49100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50635 ÷ 216
    50635 ÷ 65536     		x = 0.772628784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49100 ÷ 216
    49100 ÷ 65536     		y = 0.74920654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772628784179688 × 2 - 1) × π
    0.545257568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71297717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74920654296875 × 2 - 1) × π
    -0.4984130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56581088918951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71297717} λ = 1.71297717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56581088918951))-π/2
    2×atan(0.208918534687166)-π/2
    2×0.205956182140278-π/2
    0.411912364280557-1.57079632675     		φ = -1.15888396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71297717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.146362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15888396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.399160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50635 KachelY 49100 1.71297717 -1.15888396 98.146362 -66.399160
    Oben rechts KachelX + 1 50636 KachelY 49100 1.71307304 -1.15888396 98.151855 -66.399160
    Unten links KachelX 50635 KachelY + 1 49101 1.71297717 -1.15892235 98.146362 -66.401359
    Unten rechts KachelX + 1 50636 KachelY + 1 49101 1.71307304 -1.15892235 98.151855 -66.401359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15888396--1.15892235) × R
    3.83900000000548e-05 × 6371000     		dl = 244.582690000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15888396--1.15892235) × R
    3.83900000000548e-05 × 6371000     		dr = 244.582690000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71297717-1.71307304) × cos(-1.15888396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400362469437675 × 6371000     		do = 244.536499899525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71297717-1.71307304) × cos(-1.15892235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40032729020284 × 6371000     		du = 244.51501285313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15888396)-sin(-1.15892235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400362469437675-0.40032729020284)×R²
    abs(1.71307304-1.71297717)×3.5179234834537e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5179234834537e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5179234834537e-05×40589641000000     		ar = 59806.7672760761m²