Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50633 / 48565
↖ ↑ ↗
← S 65.194556°
E 98.135376°		 ← 256.28 m → S 65.194556°
E 98.140869°		 →
↑
256.24 m
↓
↑
256.24 m
↓
S 65.196860°
E 98.135376°		 ← 256.25 m →
65 666 m²		 S 65.196860°
E 98.140869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772605895996094 y=0.741050720214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772605895996094 × 216)
    floor (0.772605895996094 × 65536)
    floor (50633.5)     		tx = 50633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741050720214844 × 216)
    floor (0.741050720214844 × 65536)
    floor (48565.5)     		ty = 48565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50633 / 48565 ti = "16/50633/48565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50633/48565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50633 ÷ 216
    50633 ÷ 65536     		x = 0.772598266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48565 ÷ 216
    48565 ÷ 65536     		y = 0.741043090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772598266601562 × 2 - 1) × π
    0.545196533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71278542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741043090820312 × 2 - 1) × π
    -0.482086181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51451840659605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71278542} λ = 1.71278542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51451840659605))-π/2
    2×atan(0.219914068514109)-π/2
    2×0.216468339089731-π/2
    0.432936678179462-1.57079632675     		φ = -1.13785965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71278542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.135376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13785965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.194556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50633 KachelY 48565 1.71278542 -1.13785965 98.135376 -65.194556
    Oben rechts KachelX + 1 50634 KachelY 48565 1.71288130 -1.13785965 98.140869 -65.194556
    Unten links KachelX 50633 KachelY + 1 48566 1.71278542 -1.13789987 98.135376 -65.196860
    Unten rechts KachelX + 1 50634 KachelY + 1 48566 1.71288130 -1.13789987 98.140869 -65.196860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13785965--1.13789987) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dl = 256.241620000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13785965--1.13789987) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dr = 256.241620000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71278542-1.71288130) × cos(-1.13785965) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.419538339656554 × 6371000     		do = 256.275615696374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71278542-1.71288130) × cos(-1.13789987) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.41950183011027 × 6371000     		du = 256.253313785993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13785965)-sin(-1.13789987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419538339656554-0.41950183011027)×R²
    abs(1.71288130-1.71278542)×3.65095462840359e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.65095462840359e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.65095462840359e-05×40589641000000     		ar = 65665.6216025581m²