Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50632 / 48968
↖ ↑ ↗
← S 66.107170°
E 98.129883°		 ← 247.39 m → S 66.107170°
E 98.135376°		 →
↑
247.39 m
↓
↑
247.39 m
↓
S 66.109394°
E 98.129883°		 ← 247.36 m →
61 197 m²		 S 66.109394°
E 98.135376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772590637207031 y=0.747200012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772590637207031 × 216)
    floor (0.772590637207031 × 65536)
    floor (50632.5)     		tx = 50632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747200012207031 × 216)
    floor (0.747200012207031 × 65536)
    floor (48968.5)     		ty = 48968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50632 / 48968 ti = "16/50632/48968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50632/48968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50632 ÷ 216
    50632 ÷ 65536     		x = 0.7725830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48968 ÷ 216
    48968 ÷ 65536     		y = 0.7471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7725830078125 × 2 - 1) × π
    0.545166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71268955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55315554768982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71268955} λ = 1.71268955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55315554768982))-π/2
    2×atan(0.21157927084023)-π/2
    2×0.208504279420741-π/2
    0.417008558841482-1.57079632675     		φ = -1.15378777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71268955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15378777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.107170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50632 KachelY 48968 1.71268955 -1.15378777 98.129883 -66.107170
    Oben rechts KachelX + 1 50633 KachelY 48968 1.71278542 -1.15378777 98.135376 -66.107170
    Unten links KachelX 50632 KachelY + 1 48969 1.71268955 -1.15382660 98.129883 -66.109394
    Unten rechts KachelX + 1 50633 KachelY + 1 48969 1.71278542 -1.15382660 98.135376 -66.109394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15378777--1.15382660) × R
    3.88299999998232e-05 × 6371000     		dl = 247.385929998873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15378777--1.15382660) × R
    3.88299999998232e-05 × 6371000     		dr = 247.385929998873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71268955-1.71278542) × cos(-1.15378777) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405027178959019 × 6371000     		do = 247.385647425765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71268955-1.71278542) × cos(-1.15382660) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40499167620431 × 6371000     		du = 247.363962777387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15378777)-sin(-1.15382660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405027178959019-0.40499167620431)×R²
    abs(1.71278542-1.71268955)×3.55027547092601e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55027547092601e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55027547092601e-05×40589641000000     		ar = 61197.0462262421m²