Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50629 / 49092
↖ ↑ ↗
← S 66.381560°
E 98.113403°		 ← 244.71 m → S 66.381560°
E 98.118896°		 →
↑
244.71 m
↓
↑
244.71 m
↓
S 66.383760°
E 98.113403°		 ← 244.69 m →
59 880 m²		 S 66.383760°
E 98.118896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772544860839844 y=0.749092102050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772544860839844 × 216)
    floor (0.772544860839844 × 65536)
    floor (50629.5)     		tx = 50629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749092102050781 × 216)
    floor (0.749092102050781 × 65536)
    floor (49092.5)     		ty = 49092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50629 / 49092 ti = "16/50629/49092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50629/49092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50629 ÷ 216
    50629 ÷ 65536     		x = 0.772537231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49092 ÷ 216
    49092 ÷ 65536     		y = 0.74908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772537231445312 × 2 - 1) × π
    0.545074462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71240193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.4981689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56504389879559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71240193} λ = 1.71240193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56504389879559))-π/2
    2×atan(0.209078834662796)-π/2
    2×0.20610977318946-π/2
    0.412219546378919-1.57079632675     		φ = -1.15857678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71240193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.113403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15857678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.381560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50629 KachelY 49092 1.71240193 -1.15857678 98.113403 -66.381560
    Oben rechts KachelX + 1 50630 KachelY 49092 1.71249780 -1.15857678 98.118896 -66.381560
    Unten links KachelX 50629 KachelY + 1 49093 1.71240193 -1.15861519 98.113403 -66.383760
    Unten rechts KachelX + 1 50630 KachelY + 1 49093 1.71249780 -1.15861519 98.118896 -66.383760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15857678--1.15861519) × R
    3.84099999999332e-05 × 6371000     		dl = 244.710109999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15857678--1.15861519) × R
    3.84099999999332e-05 × 6371000     		dr = 244.710109999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71240193-1.71249780) × cos(-1.15857678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400643937044189 × 6371000     		do = 244.708416871235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71240193-1.71249780) × cos(-1.15861519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400608744207153 × 6371000     		du = 244.686921516782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15857678)-sin(-1.15861519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400643937044189-0.400608744207153)×R²
    abs(1.71249780-1.71240193)×3.51928370359578e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51928370359578e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51928370359578e-05×40589641000000     		ar = 59879.9935527473m²