Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50628 / 49108
↖ ↑ ↗
← S 66.416748°
E 98.107910°		 ← 244.39 m → S 66.416748°
E 98.113403°		 →
↑
244.33 m
↓
↑
244.33 m
↓
S 66.418945°
E 98.107910°		 ← 244.37 m →
59 709 m²		 S 66.418945°
E 98.113403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772529602050781 y=0.749336242675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772529602050781 × 216)
    floor (0.772529602050781 × 65536)
    floor (50628.5)     		tx = 50628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749336242675781 × 216)
    floor (0.749336242675781 × 65536)
    floor (49108.5)     		ty = 49108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50628 / 49108 ti = "16/50628/49108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50628/49108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50628 ÷ 216
    50628 ÷ 65536     		x = 0.77252197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49108 ÷ 216
    49108 ÷ 65536     		y = 0.74932861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77252197265625 × 2 - 1) × π
    0.5450439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71230605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.4986572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56657787958344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71230605} λ = 1.71230605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56657787958344))-π/2
    2×atan(0.20875835761294)-π/2
    2×0.205802699002626-π/2
    0.411605398005252-1.57079632675     		φ = -1.15919093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71230605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.107910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15919093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.416748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50628 KachelY 49108 1.71230605 -1.15919093 98.107910 -66.416748
    Oben rechts KachelX + 1 50629 KachelY 49108 1.71240193 -1.15919093 98.113403 -66.416748
    Unten links KachelX 50628 KachelY + 1 49109 1.71230605 -1.15922928 98.107910 -66.418945
    Unten rechts KachelX + 1 50629 KachelY + 1 49109 1.71240193 -1.15922928 98.113403 -66.418945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15919093--1.15922928) × R
    3.83499999998538e-05 × 6371000     		dl = 244.327849999068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15919093--1.15922928) × R
    3.83499999998538e-05 × 6371000     		dr = 244.327849999068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71230605-1.71240193) × cos(-1.15919093) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.400081156513886 × 6371000     		do = 244.390166576459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71230605-1.71240193) × cos(-1.15922928) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.400046009222617 × 6371000     		du = 244.368696801569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15919093)-sin(-1.15922928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400081156513886-0.400046009222617)×R²
    abs(1.71240193-1.71230605)×3.51472912697437e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.51472912697437e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.51472912697437e-05×40589641000000     		ar = 59708.7011359761m²