Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50628 / 48532
↖ ↑ ↗
← S 65.118395°
E 98.107910°		 ← 257.01 m → S 65.118395°
E 98.113403°		 →
↑
257.01 m
↓
↑
257.01 m
↓
S 65.120706°
E 98.107910°		 ← 256.99 m →
66 051 m²		 S 65.120706°
E 98.113403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772529602050781 y=0.740547180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772529602050781 × 216)
    floor (0.772529602050781 × 65536)
    floor (50628.5)     		tx = 50628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740547180175781 × 216)
    floor (0.740547180175781 × 65536)
    floor (48532.5)     		ty = 48532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50628 / 48532 ti = "16/50628/48532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50628/48532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50628 ÷ 216
    50628 ÷ 65536     		x = 0.77252197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48532 ÷ 216
    48532 ÷ 65536     		y = 0.74053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77252197265625 × 2 - 1) × π
    0.5450439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71230605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.4810791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51135457122113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71230605} λ = 1.71230605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51135457122113))-π/2
    2×atan(0.220610942239088)-π/2
    2×0.21713296794423-π/2
    0.43426593588846-1.57079632675     		φ = -1.13653039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71230605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.107910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13653039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.118395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50628 KachelY 48532 1.71230605 -1.13653039 98.107910 -65.118395
    Oben rechts KachelX + 1 50629 KachelY 48532 1.71240193 -1.13653039 98.113403 -65.118395
    Unten links KachelX 50628 KachelY + 1 48533 1.71230605 -1.13657073 98.107910 -65.120706
    Unten rechts KachelX + 1 50629 KachelY + 1 48533 1.71240193 -1.13657073 98.113403 -65.120706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13653039--1.13657073) × R
    4.03400000001941e-05 × 6371000     		dl = 257.006140001237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13653039--1.13657073) × R
    4.03400000001941e-05 × 6371000     		dr = 257.006140001237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71230605-1.71240193) × cos(-1.13653039) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.420744587958334 × 6371000     		do = 257.01245425617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71230605-1.71240193) × cos(-1.13657073) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.420707992009502 × 6371000     		du = 256.990099566664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13653039)-sin(-1.13657073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420744587958334-0.420707992009502)×R²
    abs(1.71240193-1.71230605)×3.65959488322631e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.65959488322631e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.65959488322631e-05×40589641000000     		ar = 66050.9061633962m²