Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50627 / 49141
↖ ↑ ↗
← S 66.489168°
E 98.102417°		 ← 243.66 m → S 66.489168°
E 98.107910°		 →
↑
243.63 m
↓
↑
243.63 m
↓
S 66.491359°
E 98.102417°		 ← 243.64 m →
59 359 m²		 S 66.491359°
E 98.107910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772514343261719 y=0.749839782714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772514343261719 × 216)
    floor (0.772514343261719 × 65536)
    floor (50627.5)     		tx = 50627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749839782714844 × 216)
    floor (0.749839782714844 × 65536)
    floor (49141.5)     		ty = 49141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50627 / 49141 ti = "16/50627/49141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50627/49141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50627 ÷ 216
    50627 ÷ 65536     		x = 0.772506713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49141 ÷ 216
    49141 ÷ 65536     		y = 0.749832153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772506713867188 × 2 - 1) × π
    0.545013427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71221018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749832153320312 × 2 - 1) × π
    -0.499664306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56974171495836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71221018} λ = 1.71221018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56974171495836))-π/2
    2×atan(0.208098924255674)-π/2
    2×0.205170720394113-π/2
    0.410341440788225-1.57079632675     		φ = -1.16045489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71221018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.102417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16045489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.489168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50627 KachelY 49141 1.71221018 -1.16045489 98.102417 -66.489168
    Oben rechts KachelX + 1 50628 KachelY 49141 1.71230605 -1.16045489 98.107910 -66.489168
    Unten links KachelX 50627 KachelY + 1 49142 1.71221018 -1.16049313 98.102417 -66.491359
    Unten rechts KachelX + 1 50628 KachelY + 1 49142 1.71230605 -1.16049313 98.107910 -66.491359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16045489--1.16049313) × R
    3.82400000000782e-05 × 6371000     		dl = 243.627040000498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16045489--1.16049313) × R
    3.82400000000782e-05 × 6371000     		dr = 243.627040000498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71221018-1.71230605) × cos(-1.16045489) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398922443537859 × 6371000     		do = 243.656949691434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71221018-1.71230605) × cos(-1.16049313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398887377752435 × 6371000     		du = 243.635531938552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16045489)-sin(-1.16049313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398922443537859-0.398887377752435)×R²
    abs(1.71230605-1.71221018)×3.50657854237268e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50657854237268e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50657854237268e-05×40589641000000     		ar = 59358.8124644018m²