Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50626 / 49600
↖ ↑ ↗
← S 67.474922°
E 98.096924°		 ← 233.99 m → S 67.474922°
E 98.102417°		 →
↑
233.94 m
↓
↑
233.94 m
↓
S 67.477026°
E 98.096924°		 ← 233.96 m →
54 737 m²		 S 67.477026°
E 98.102417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772499084472656 y=0.756843566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772499084472656 × 216)
    floor (0.772499084472656 × 65536)
    floor (50626.5)     		tx = 50626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756843566894531 × 216)
    floor (0.756843566894531 × 65536)
    floor (49600.5)     		ty = 49600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50626 / 49600 ti = "16/50626/49600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50626/49600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50626 ÷ 216
    50626 ÷ 65536     		x = 0.772491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49600 ÷ 216
    49600 ÷ 65536     		y = 0.7568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772491455078125 × 2 - 1) × π
    0.54498291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71211431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7568359375 × 2 - 1) × π
    -0.513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61374778880957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71211431} λ = 1.71211431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61374778880957))-π/2
    2×atan(0.199139879562679)-π/2
    2×0.196568384335204-π/2
    0.393136768670409-1.57079632675     		φ = -1.17765956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71211431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.096924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17765956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.474922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50626 KachelY 49600 1.71211431 -1.17765956 98.096924 -67.474922
    Oben rechts KachelX + 1 50627 KachelY 49600 1.71221018 -1.17765956 98.102417 -67.474922
    Unten links KachelX 50626 KachelY + 1 49601 1.71211431 -1.17769628 98.096924 -67.477026
    Unten rechts KachelX + 1 50627 KachelY + 1 49601 1.71221018 -1.17769628 98.102417 -67.477026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17765956--1.17769628) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dl = 233.943119999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17765956--1.17769628) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dr = 233.943119999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71211431-1.71221018) × cos(-1.17765956) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383087763999222 × 6371000     		do = 233.985321087366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71211431-1.71221018) × cos(-1.17769628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383053845038186 × 6371000     		du = 233.964603800794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17765956)-sin(-1.17769628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383087763999222-0.383053845038186)×R²
    abs(1.71221018-1.71211431)×3.39189610363833e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39189610363833e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39189610363833e-05×40589641000000     		ar = 54736.8327221676m²