Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50626 / 48962
↖ ↑ ↗
← S 66.093817°
E 98.096924°		 ← 247.52 m → S 66.093817°
E 98.102417°		 →
↑
247.51 m
↓
↑
247.51 m
↓
S 66.096043°
E 98.096924°		 ← 247.49 m →
61 261 m²		 S 66.096043°
E 98.102417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772499084472656 y=0.747108459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772499084472656 × 216)
    floor (0.772499084472656 × 65536)
    floor (50626.5)     		tx = 50626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747108459472656 × 216)
    floor (0.747108459472656 × 65536)
    floor (48962.5)     		ty = 48962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50626 / 48962 ti = "16/50626/48962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50626/48962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50626 ÷ 216
    50626 ÷ 65536     		x = 0.772491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48962 ÷ 216
    48962 ÷ 65536     		y = 0.747100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772491455078125 × 2 - 1) × π
    0.54498291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71211431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747100830078125 × 2 - 1) × π
    -0.49420166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55258030489438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71211431} λ = 1.71211431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55258030489438))-π/2
    2×atan(0.211701015304402)-π/2
    2×0.208620804543894-π/2
    0.417241609087789-1.57079632675     		φ = -1.15355472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71211431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.096924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15355472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.093817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50626 KachelY 48962 1.71211431 -1.15355472 98.096924 -66.093817
    Oben rechts KachelX + 1 50627 KachelY 48962 1.71221018 -1.15355472 98.102417 -66.093817
    Unten links KachelX 50626 KachelY + 1 48963 1.71211431 -1.15359357 98.096924 -66.096043
    Unten rechts KachelX + 1 50627 KachelY + 1 48963 1.71221018 -1.15359357 98.102417 -66.096043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15355472--1.15359357) × R
    3.88499999999237e-05 × 6371000     		dl = 247.513349999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15355472--1.15359357) × R
    3.88499999999237e-05 × 6371000     		dr = 247.513349999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71211431-1.71221018) × cos(-1.15355472) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405240246655684 × 6371000     		do = 247.51578656907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71211431-1.71221018) × cos(-1.15359357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405204729282484 × 6371000     		du = 247.494092991897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15355472)-sin(-1.15359357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405240246655684-0.405204729282484)×R²
    abs(1.71221018-1.71211431)×3.55173732000114e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55173732000114e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55173732000114e-05×40589641000000     		ar = 61260.7767943093m²