Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50625 / 49142
↖ ↑ ↗
← S 66.491359°
E 98.091430°		 ← 243.66 m → S 66.491359°
E 98.096924°		 →
↑
243.63 m
↓
↑
243.63 m
↓
S 66.493549°
E 98.091430°		 ← 243.64 m →
59 360 m²		 S 66.493549°
E 98.096924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772483825683594 y=0.749855041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772483825683594 × 216)
    floor (0.772483825683594 × 65536)
    floor (50625.5)     		tx = 50625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749855041503906 × 216)
    floor (0.749855041503906 × 65536)
    floor (49142.5)     		ty = 49142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50625 / 49142 ti = "16/50625/49142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50625/49142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50625 ÷ 216
    50625 ÷ 65536     		x = 0.772476196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49142 ÷ 216
    49142 ÷ 65536     		y = 0.749847412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772476196289062 × 2 - 1) × π
    0.544952392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71201843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749847412109375 × 2 - 1) × π
    -0.49969482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5698375887576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71201843} λ = 1.71201843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5698375887576))-π/2
    2×atan(0.208078973977558)-π/2
    2×0.205151598129387-π/2
    0.410303196258774-1.57079632675     		φ = -1.16049313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71201843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.091430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16049313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.491359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50625 KachelY 49142 1.71201843 -1.16049313 98.091430 -66.491359
    Oben rechts KachelX + 1 50626 KachelY 49142 1.71211431 -1.16049313 98.096924 -66.491359
    Unten links KachelX 50625 KachelY + 1 49143 1.71201843 -1.16053137 98.091430 -66.493549
    Unten rechts KachelX + 1 50626 KachelY + 1 49143 1.71211431 -1.16053137 98.096924 -66.493549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16049313--1.16053137) × R
    3.82399999998562e-05 × 6371000     		dl = 243.627039999084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16049313--1.16053137) × R
    3.82399999998562e-05 × 6371000     		dr = 243.627039999084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71201843-1.71211431) × cos(-1.16049313) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.398887377752435 × 6371000     		do = 243.660945053234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71201843-1.71211431) × cos(-1.16053137) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.39885231138372 × 6371000     		du = 243.639524710006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16049313)-sin(-1.16053137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398887377752435-0.39885231138372)×R²
    abs(1.71211431-1.71201843)×3.50663687155306e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.50663687155306e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.50663687155306e-05×40589641000000     		ar = 59359.7855264957m²