Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50625 / 48832
↖ ↑ ↗
← S 65.802776°
E 98.091430°		 ← 250.38 m → S 65.802776°
E 98.096924°		 →
↑
250.38 m
↓
↑
250.38 m
↓
S 65.805028°
E 98.091430°		 ← 250.35 m →
62 686 m²		 S 65.805028°
E 98.096924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772483825683594 y=0.745124816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772483825683594 × 216)
    floor (0.772483825683594 × 65536)
    floor (50625.5)     		tx = 50625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745124816894531 × 216)
    floor (0.745124816894531 × 65536)
    floor (48832.5)     		ty = 48832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50625 / 48832 ti = "16/50625/48832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50625/48832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50625 ÷ 216
    50625 ÷ 65536     		x = 0.772476196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48832 ÷ 216
    48832 ÷ 65536     		y = 0.7451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772476196289062 × 2 - 1) × π
    0.544952392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71201843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7451171875 × 2 - 1) × π
    -0.490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54011671099316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71201843} λ = 1.71201843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54011671099316))-π/2
    2×atan(0.214356082255749)-π/2
    2×0.211160610897234-π/2
    0.422321221794468-1.57079632675     		φ = -1.14847510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71201843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.091430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14847510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.802776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50625 KachelY 48832 1.71201843 -1.14847510 98.091430 -65.802776
    Oben rechts KachelX + 1 50626 KachelY 48832 1.71211431 -1.14847510 98.096924 -65.802776
    Unten links KachelX 50625 KachelY + 1 48833 1.71201843 -1.14851440 98.091430 -65.805028
    Unten rechts KachelX + 1 50626 KachelY + 1 48833 1.71211431 -1.14851440 98.096924 -65.805028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14847510--1.14851440) × R
    3.93000000000754e-05 × 6371000     		dl = 250.38030000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14847510--1.14851440) × R
    3.93000000000754e-05 × 6371000     		dr = 250.38030000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71201843-1.71211431) × cos(-1.14847510) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.409878839145317 × 6371000     		do = 250.375095512435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71201843-1.71211431) × cos(-1.14851440) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.409842991727713 × 6371000     		du = 250.353198064337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14847510)-sin(-1.14851440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409878839145317-0.409842991727713)×R²
    abs(1.71211431-1.71201843)×3.58474176047618e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.58474176047618e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.58474176047618e-05×40589641000000     		ar = 62686.2501902246m²