Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50624 / 48961
↖ ↑ ↗
← S 66.091590°
E 98.085938°		 ← 247.54 m → S 66.091590°
E 98.091430°		 →
↑
247.58 m
↓
↑
247.58 m
↓
S 66.093817°
E 98.085938°		 ← 247.52 m →
61 282 m²		 S 66.093817°
E 98.091430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772468566894531 y=0.747093200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772468566894531 × 216)
    floor (0.772468566894531 × 65536)
    floor (50624.5)     		tx = 50624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747093200683594 × 216)
    floor (0.747093200683594 × 65536)
    floor (48961.5)     		ty = 48961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50624 / 48961 ti = "16/50624/48961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50624/48961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50624 ÷ 216
    50624 ÷ 65536     		x = 0.7724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48961 ÷ 216
    48961 ÷ 65536     		y = 0.747085571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747085571289062 × 2 - 1) × π
    -0.494171142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55248443109514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71192256} λ = 1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55248443109514))-π/2
    2×atan(0.211721312858028)-π/2
    2×0.208640231356372-π/2
    0.417280462712744-1.57079632675     		φ = -1.15351586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15351586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.091590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50624 KachelY 48961 1.71192256 -1.15351586 98.085938 -66.091590
    Oben rechts KachelX + 1 50625 KachelY 48961 1.71201843 -1.15351586 98.091430 -66.091590
    Unten links KachelX 50624 KachelY + 1 48962 1.71192256 -1.15355472 98.085938 -66.093817
    Unten rechts KachelX + 1 50625 KachelY + 1 48962 1.71201843 -1.15355472 98.091430 -66.093817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15351586--1.15355472) × R
    3.88600000000849e-05 × 6371000     		dl = 247.577060000541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15351586--1.15355472) × R
    3.88600000000849e-05 × 6371000     		dr = 247.577060000541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71192256-1.71201843) × cos(-1.15351586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405275772559191 × 6371000     		do = 247.53748535645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71192256-1.71201843) × cos(-1.15355472) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405240246655684 × 6371000     		du = 247.51578656907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15351586)-sin(-1.15355472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405275772559191-0.405240246655684)×R²
    abs(1.71201843-1.71192256)×3.55259035067501e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55259035067501e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55259035067501e-05×40589641000000     		ar = 61281.9168108904m²