Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50623 / 48959
↖ ↑ ↗
← S 66.087138°
E 98.080445°		 ← 247.58 m → S 66.087138°
E 98.085938°		 →
↑
247.58 m
↓
↑
247.58 m
↓
S 66.089364°
E 98.080445°		 ← 247.56 m →
61 293 m²		 S 66.089364°
E 98.085938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772453308105469 y=0.747062683105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772453308105469 × 216)
    floor (0.772453308105469 × 65536)
    floor (50623.5)     		tx = 50623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747062683105469 × 216)
    floor (0.747062683105469 × 65536)
    floor (48959.5)     		ty = 48959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50623 / 48959 ti = "16/50623/48959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50623/48959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50623 ÷ 216
    50623 ÷ 65536     		x = 0.772445678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48959 ÷ 216
    48959 ÷ 65536     		y = 0.747055053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772445678710938 × 2 - 1) × π
    0.544891357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71182669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747055053710938 × 2 - 1) × π
    -0.494110107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55229268349666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71182669} λ = 1.71182669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55229268349666))-π/2
    2×atan(0.211761913803758)-π/2
    2×0.208679090089794-π/2
    0.417358180179588-1.57079632675     		φ = -1.15343815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71182669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.080445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15343815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.087138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50623 KachelY 48959 1.71182669 -1.15343815 98.080445 -66.087138
    Oben rechts KachelX + 1 50624 KachelY 48959 1.71192256 -1.15343815 98.085938 -66.087138
    Unten links KachelX 50623 KachelY + 1 48960 1.71182669 -1.15347701 98.080445 -66.089364
    Unten rechts KachelX + 1 50624 KachelY + 1 48960 1.71192256 -1.15347701 98.085938 -66.089364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15343815--1.15347701) × R
    3.88600000000849e-05 × 6371000     		dl = 247.577060000541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15343815--1.15347701) × R
    3.88600000000849e-05 × 6371000     		dr = 247.577060000541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71182669-1.71192256) × cos(-1.15343815) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4053468133885 × 6371000     		do = 247.580876226163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71182669-1.71192256) × cos(-1.15347701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405311288708903 × 6371000     		du = 247.559178186332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15343815)-sin(-1.15347701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4053468133885-0.405311288708903)×R²
    abs(1.71192256-1.71182669)×3.55246795970543e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55246795970543e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55246795970543e-05×40589641000000     		ar = 61292.6594876258m²