Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50623 / 48831
↖ ↑ ↗
← S 65.800525°
E 98.080445°		 ← 250.37 m → S 65.800525°
E 98.085938°		 →
↑
250.32 m
↓
↑
250.32 m
↓
S 65.802776°
E 98.080445°		 ← 250.35 m →
62 669 m²		 S 65.802776°
E 98.085938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772453308105469 y=0.745109558105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772453308105469 × 216)
    floor (0.772453308105469 × 65536)
    floor (50623.5)     		tx = 50623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745109558105469 × 216)
    floor (0.745109558105469 × 65536)
    floor (48831.5)     		ty = 48831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50623 / 48831 ti = "16/50623/48831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50623/48831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50623 ÷ 216
    50623 ÷ 65536     		x = 0.772445678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48831 ÷ 216
    48831 ÷ 65536     		y = 0.745101928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772445678710938 × 2 - 1) × π
    0.544891357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71182669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745101928710938 × 2 - 1) × π
    -0.490203857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54002083719392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71182669} λ = 1.71182669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54002083719392))-π/2
    2×atan(0.214376634372934)-π/2
    2×0.21118026007693-π/2
    0.42236052015386-1.57079632675     		φ = -1.14843581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71182669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.080445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14843581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.800525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50623 KachelY 48831 1.71182669 -1.14843581 98.080445 -65.800525
    Oben rechts KachelX + 1 50624 KachelY 48831 1.71192256 -1.14843581 98.085938 -65.800525
    Unten links KachelX 50623 KachelY + 1 48832 1.71182669 -1.14847510 98.080445 -65.802776
    Unten rechts KachelX + 1 50624 KachelY + 1 48832 1.71192256 -1.14847510 98.085938 -65.802776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14843581--1.14847510) × R
    3.92899999999141e-05 × 6371000     		dl = 250.316589999453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14843581--1.14847510) × R
    3.92899999999141e-05 × 6371000     		dr = 250.316589999453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71182669-1.71192256) × cos(-1.14843581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.409914676808629 × 6371000     		do = 250.370871338208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71182669-1.71192256) × cos(-1.14847510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.409878839145317 × 6371000     		du = 250.348982131752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14843581)-sin(-1.14847510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409914676808629-0.409878839145317)×R²
    abs(1.71192256-1.71182669)×3.5837663312166e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5837663312166e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5837663312166e-05×40589641000000     		ar = 62669.2431411462m²