Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50622 / 49088
↖ ↑ ↗
← S 66.372755°
E 98.074951°		 ← 244.82 m → S 66.372755°
E 98.080445°		 →
↑
244.77 m
↓
↑
244.77 m
↓
S 66.374956°
E 98.074951°		 ← 244.80 m →
59 923 m²		 S 66.374956°
E 98.080445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772438049316406 y=0.749031066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772438049316406 × 216)
    floor (0.772438049316406 × 65536)
    floor (50622.5)     		tx = 50622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749031066894531 × 216)
    floor (0.749031066894531 × 65536)
    floor (49088.5)     		ty = 49088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50622 / 49088 ti = "16/50622/49088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50622/49088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50622 ÷ 216
    50622 ÷ 65536     		x = 0.772430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49088 ÷ 216
    49088 ÷ 65536     		y = 0.7490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772430419921875 × 2 - 1) × π
    0.54486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71173081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    -0.498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56466040359863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71173081} λ = 1.71173081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56466040359863))-π/2
    2×atan(0.209159030768103)-π/2
    2×0.206186609200051-π/2
    0.412373218400102-1.57079632675     		φ = -1.15842311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71173081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.074951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15842311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.372755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50622 KachelY 49088 1.71173081 -1.15842311 98.074951 -66.372755
    Oben rechts KachelX + 1 50623 KachelY 49088 1.71182669 -1.15842311 98.080445 -66.372755
    Unten links KachelX 50622 KachelY + 1 49089 1.71173081 -1.15846153 98.074951 -66.374956
    Unten rechts KachelX + 1 50623 KachelY + 1 49089 1.71182669 -1.15846153 98.080445 -66.374956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15842311--1.15846153) × R
    3.84200000000945e-05 × 6371000     		dl = 244.773820000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15842311--1.15846153) × R
    3.84200000000945e-05 × 6371000     		dr = 244.773820000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71173081-1.71182669) × cos(-1.15842311) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.400784729966169 × 6371000     		do = 244.819945461641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71173081-1.71182669) × cos(-1.15846153) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.400749530332355 × 6371000     		du = 244.79844371323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15842311)-sin(-1.15846153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400784729966169-0.400749530332355)×R²
    abs(1.71182669-1.71173081)×3.51996338143201e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.51996338143201e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.51996338143201e-05×40589641000000     		ar = 59922.881737844m²