Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50621 / 48986
↖ ↑ ↗
← S 66.147186°
E 98.069458°		 ← 247 m → S 66.147186°
E 98.074951°		 →
↑
247 m
↓
↑
247 m
↓
S 66.149407°
E 98.069458°		 ← 246.97 m →
61 006 m²		 S 66.149407°
E 98.074951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772422790527344 y=0.747474670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772422790527344 × 216)
    floor (0.772422790527344 × 65536)
    floor (50621.5)     		tx = 50621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747474670410156 × 216)
    floor (0.747474670410156 × 65536)
    floor (48986.5)     		ty = 48986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50621 / 48986 ti = "16/50621/48986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50621/48986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50621 ÷ 216
    50621 ÷ 65536     		x = 0.772415161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48986 ÷ 216
    48986 ÷ 65536     		y = 0.747467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772415161132812 × 2 - 1) × π
    0.544830322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71163494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.49493408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55488127607614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71163494} λ = 1.71163494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55488127607614))-π/2
    2×atan(0.211214457361611)-π/2
    2×0.208155071567335-π/2
    0.416310143134671-1.57079632675     		φ = -1.15448618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71163494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.069458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15448618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.147186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50621 KachelY 48986 1.71163494 -1.15448618 98.069458 -66.147186
    Oben rechts KachelX + 1 50622 KachelY 48986 1.71173081 -1.15448618 98.074951 -66.147186
    Unten links KachelX 50621 KachelY + 1 48987 1.71163494 -1.15452495 98.069458 -66.149407
    Unten rechts KachelX + 1 50622 KachelY + 1 48987 1.71173081 -1.15452495 98.074951 -66.149407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15448618--1.15452495) × R
    3.87700000001878e-05 × 6371000     		dl = 247.003670001197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15448618--1.15452495) × R
    3.87700000001878e-05 × 6371000     		dr = 247.003670001197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71163494-1.71173081) × cos(-1.15448618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.404388520722279 × 6371000     		do = 246.995562785554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71163494-1.71173081) × cos(-1.15452495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.404353061868852 × 6371000     		du = 246.973904951543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15448618)-sin(-1.15452495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404388520722279-0.404353061868852)×R²
    abs(1.71173081-1.71163494)×3.54588534268174e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.54588534268174e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.54588534268174e-05×40589641000000     		ar = 61006.1357076432m²