Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50620 / 49084
↖ ↑ ↗
← S 66.363947°
E 98.063965°		 ← 244.91 m → S 66.363947°
E 98.069458°		 →
↑
244.90 m
↓
↑
244.90 m
↓
S 66.366149°
E 98.063965°		 ← 244.88 m →
59 975 m²		 S 66.366149°
E 98.069458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772407531738281 y=0.748970031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772407531738281 × 216)
    floor (0.772407531738281 × 65536)
    floor (50620.5)     		tx = 50620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748970031738281 × 216)
    floor (0.748970031738281 × 65536)
    floor (49084.5)     		ty = 49084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50620 / 49084 ti = "16/50620/49084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50620/49084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50620 ÷ 216
    50620 ÷ 65536     		x = 0.77239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49084 ÷ 216
    49084 ÷ 65536     		y = 0.74896240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77239990234375 × 2 - 1) × π
    0.5447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71153906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74896240234375 × 2 - 1) × π
    -0.4979248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56427690840167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71153906} λ = 1.71153906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56427690840167))-π/2
    2×atan(0.209239257634129)-π/2
    2×0.206263472211538-π/2
    0.412526944423076-1.57079632675     		φ = -1.15826938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71153906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15826938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.363947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50620 KachelY 49084 1.71153906 -1.15826938 98.063965 -66.363947
    Oben rechts KachelX + 1 50621 KachelY 49084 1.71163494 -1.15826938 98.069458 -66.363947
    Unten links KachelX 50620 KachelY + 1 49085 1.71153906 -1.15830782 98.063965 -66.366149
    Unten rechts KachelX + 1 50621 KachelY + 1 49085 1.71163494 -1.15830782 98.069458 -66.366149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15826938--1.15830782) × R
    3.8440000000195e-05 × 6371000     		dl = 244.901240001242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15826938--1.15830782) × R
    3.8440000000195e-05 × 6371000     		dr = 244.901240001242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71153906-1.71163494) × cos(-1.15826938) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.400925568390469 × 6371000     		do = 244.905976820999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71153906-1.71163494) × cos(-1.15830782) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.400890352801604 × 6371000     		du = 244.884465326421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15826938)-sin(-1.15830782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400925568390469-0.400890352801604)×R²
    abs(1.71163494-1.71153906)×3.52155888656558e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.52155888656558e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.52155888656558e-05×40589641000000     		ar = 59975.143318747m²