Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50619 / 49623
↖ ↑ ↗
← S 67.523273°
E 98.058472°		 ← 233.51 m → S 67.523273°
E 98.063965°		 →
↑
233.56 m
↓
↑
233.56 m
↓
S 67.525374°
E 98.058472°		 ← 233.49 m →
54 536 m²		 S 67.525374°
E 98.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772392272949219 y=0.757194519042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772392272949219 × 216)
    floor (0.772392272949219 × 65536)
    floor (50619.5)     		tx = 50619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757194519042969 × 216)
    floor (0.757194519042969 × 65536)
    floor (49623.5)     		ty = 49623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50619 / 49623 ti = "16/50619/49623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50619/49623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50619 ÷ 216
    50619 ÷ 65536     		x = 0.772384643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49623 ÷ 216
    49623 ÷ 65536     		y = 0.757186889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772384643554688 × 2 - 1) × π
    0.544769287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71144319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757186889648438 × 2 - 1) × π
    -0.514373779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61595288619209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71144319} λ = 1.71144319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61595288619209))-π/2
    2×atan(0.198701240534125)-π/2
    2×0.196146441339026-π/2
    0.392292882678051-1.57079632675     		φ = -1.17850344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71144319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.058472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17850344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.523273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50619 KachelY 49623 1.71144319 -1.17850344 98.058472 -67.523273
    Oben rechts KachelX + 1 50620 KachelY 49623 1.71153906 -1.17850344 98.063965 -67.523273
    Unten links KachelX 50619 KachelY + 1 49624 1.71144319 -1.17854010 98.058472 -67.525374
    Unten rechts KachelX + 1 50620 KachelY + 1 49624 1.71153906 -1.17854010 98.063965 -67.525374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17850344--1.17854010) × R
    3.66599999999107e-05 × 6371000     		dl = 233.560859999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17850344--1.17854010) × R
    3.66599999999107e-05 × 6371000     		dr = 233.560859999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71144319-1.71153906) × cos(-1.17850344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382308125647261 × 6371000     		do = 233.509127516965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71144319-1.71153906) × cos(-1.17854010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382274250270919 × 6371000     		du = 233.488436851391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17850344)-sin(-1.17854010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382308125647261-0.382274250270919)×R²
    abs(1.71153906-1.71144319)×3.38753763416966e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38753763416966e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38753763416966e-05×40589641000000     		ar = 54536.1763818452m²