Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50619 / 48983
↖ ↑ ↗
← S 66.140521°
E 98.058472°		 ← 247.06 m → S 66.140521°
E 98.063965°		 →
↑
247.07 m
↓
↑
247.07 m
↓
S 66.142743°
E 98.058472°		 ← 247.04 m →
61 038 m²		 S 66.142743°
E 98.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772392272949219 y=0.747428894042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772392272949219 × 216)
    floor (0.772392272949219 × 65536)
    floor (50619.5)     		tx = 50619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747428894042969 × 216)
    floor (0.747428894042969 × 65536)
    floor (48983.5)     		ty = 48983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50619 / 48983 ti = "16/50619/48983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50619/48983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50619 ÷ 216
    50619 ÷ 65536     		x = 0.772384643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48983 ÷ 216
    48983 ÷ 65536     		y = 0.747421264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772384643554688 × 2 - 1) × π
    0.544769287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71144319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747421264648438 × 2 - 1) × π
    -0.494842529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55459365467842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71144319} λ = 1.71144319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55459365467842))-π/2
    2×atan(0.211275215896364)-π/2
    2×0.2082132346122-π/2
    0.4164264692244-1.57079632675     		φ = -1.15436986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71144319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.058472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15436986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.140521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50619 KachelY 48983 1.71144319 -1.15436986 98.058472 -66.140521
    Oben rechts KachelX + 1 50620 KachelY 48983 1.71153906 -1.15436986 98.063965 -66.140521
    Unten links KachelX 50619 KachelY + 1 48984 1.71144319 -1.15440864 98.058472 -66.142743
    Unten rechts KachelX + 1 50620 KachelY + 1 48984 1.71153906 -1.15440864 98.063965 -66.142743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15436986--1.15440864) × R
    3.8779999999905e-05 × 6371000     		dl = 247.067379999395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15436986--1.15440864) × R
    3.8779999999905e-05 × 6371000     		dr = 247.067379999395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71144319-1.71153906) × cos(-1.15436986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.404494902780699 × 6371000     		do = 247.060539645784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71144319-1.71153906) × cos(-1.15440864) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.404459436605554 × 6371000     		du = 247.038877339757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15436986)-sin(-1.15440864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404494902780699-0.404459436605554)×R²
    abs(1.71153906-1.71144319)×3.54661751444385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.54661751444385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.54661751444385e-05×40589641000000     		ar = 61037.9242144797m²