Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50618 / 49630
↖ ↑ ↗
← S 67.537970°
E 98.052979°		 ← 233.36 m → S 67.537970°
E 98.058472°		 →
↑
233.37 m
↓
↑
233.37 m
↓
S 67.540068°
E 98.052979°		 ← 233.34 m →
54 458 m²		 S 67.540068°
E 98.058472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772377014160156 y=0.757301330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772377014160156 × 216)
    floor (0.772377014160156 × 65536)
    floor (50618.5)     		tx = 50618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757301330566406 × 216)
    floor (0.757301330566406 × 65536)
    floor (49630.5)     		ty = 49630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50618 / 49630 ti = "16/50618/49630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50618/49630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50618 ÷ 216
    50618 ÷ 65536     		x = 0.772369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49630 ÷ 216
    49630 ÷ 65536     		y = 0.757293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772369384765625 × 2 - 1) × π
    0.54473876953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71134732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757293701171875 × 2 - 1) × π
    -0.51458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61662400278677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71134732} λ = 1.71134732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61662400278677))-π/2
    2×atan(0.19856793357148)-π/2
    2×0.196018194447321-π/2
    0.392036388894641-1.57079632675     		φ = -1.17875994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71134732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17875994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.537970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50618 KachelY 49630 1.71134732 -1.17875994 98.052979 -67.537970
    Oben rechts KachelX + 1 50619 KachelY 49630 1.71144319 -1.17875994 98.058472 -67.537970
    Unten links KachelX 50618 KachelY + 1 49631 1.71134732 -1.17879657 98.052979 -67.540068
    Unten rechts KachelX + 1 50619 KachelY + 1 49631 1.71144319 -1.17879657 98.058472 -67.540068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17875994--1.17879657) × R
    3.6630000000093e-05 × 6371000     		dl = 233.369730000592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17875994--1.17879657) × R
    3.6630000000093e-05 × 6371000     		dr = 233.369730000592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71134732-1.71144319) × cos(-1.17875994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382071098121464 × 6371000     		do = 233.364354003055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71134732-1.71144319) × cos(-1.17879657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38203724687585 × 6371000     		du = 233.343678076235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17875994)-sin(-1.17879657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382071098121464-0.38203724687585)×R²
    abs(1.71144319-1.71134732)×3.38512456143913e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38512456143913e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38512456143913e-05×40589641000000     		ar = 54457.7637235342m²