Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50618 / 49622
↖ ↑ ↗
← S 67.521173°
E 98.052979°		 ← 233.53 m → S 67.521173°
E 98.058472°		 →
↑
233.50 m
↓
↑
233.50 m
↓
S 67.523273°
E 98.052979°		 ← 233.51 m →
54 526 m²		 S 67.523273°
E 98.058472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772377014160156 y=0.757179260253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772377014160156 × 216)
    floor (0.772377014160156 × 65536)
    floor (50618.5)     		tx = 50618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757179260253906 × 216)
    floor (0.757179260253906 × 65536)
    floor (49622.5)     		ty = 49622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50618 / 49622 ti = "16/50618/49622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50618/49622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50618 ÷ 216
    50618 ÷ 65536     		x = 0.772369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49622 ÷ 216
    49622 ÷ 65536     		y = 0.757171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772369384765625 × 2 - 1) × π
    0.54473876953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71134732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757171630859375 × 2 - 1) × π
    -0.51434326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61585701239285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71134732} λ = 1.71134732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61585701239285))-π/2
    2×atan(0.198720291690208)-π/2
    2×0.196164768816893-π/2
    0.392329537633785-1.57079632675     		φ = -1.17846679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71134732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17846679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.521173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50618 KachelY 49622 1.71134732 -1.17846679 98.052979 -67.521173
    Oben rechts KachelX + 1 50619 KachelY 49622 1.71144319 -1.17846679 98.058472 -67.521173
    Unten links KachelX 50618 KachelY + 1 49623 1.71134732 -1.17850344 98.052979 -67.523273
    Unten rechts KachelX + 1 50619 KachelY + 1 49623 1.71144319 -1.17850344 98.058472 -67.523273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17846679--1.17850344) × R
    3.66499999999714e-05 × 6371000     		dl = 233.497149999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17846679--1.17850344) × R
    3.66499999999714e-05 × 6371000     		dr = 233.497149999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71134732-1.71144319) × cos(-1.17846679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382341991269588 × 6371000     		do = 233.529812224906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71134732-1.71144319) × cos(-1.17850344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382308125647261 × 6371000     		du = 233.509127516965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17846679)-sin(-1.17850344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382341991269588-0.382308125647261)×R²
    abs(1.71144319-1.71134732)×3.38656223277667e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38656223277667e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38656223277667e-05×40589641000000     		ar = 54526.1306907644m²