Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50616 / 49112
↖ ↑ ↗
← S 66.425537°
E 98.041992°		 ← 244.28 m → S 66.425537°
E 98.047485°		 →
↑
244.26 m
↓
↑
244.26 m
↓
S 66.427734°
E 98.041992°		 ← 244.26 m →
59 666 m²		 S 66.427734°
E 98.047485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772346496582031 y=0.749397277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772346496582031 × 216)
    floor (0.772346496582031 × 65536)
    floor (50616.5)     		tx = 50616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749397277832031 × 216)
    floor (0.749397277832031 × 65536)
    floor (49112.5)     		ty = 49112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50616 / 49112 ti = "16/50616/49112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50616/49112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50616 ÷ 216
    50616 ÷ 65536     		x = 0.7723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49112 ÷ 216
    49112 ÷ 65536     		y = 0.7493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7723388671875 × 2 - 1) × π
    0.544677734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71115557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.498779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5669613747804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71115557} λ = 1.71115557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5669613747804))-π/2
    2×atan(0.208678315134404)-π/2
    2×0.205725997881447-π/2
    0.411451995762894-1.57079632675     		φ = -1.15934433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71115557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15934433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.425537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50616 KachelY 49112 1.71115557 -1.15934433 98.041992 -66.425537
    Oben rechts KachelX + 1 50617 KachelY 49112 1.71125144 -1.15934433 98.047485 -66.425537
    Unten links KachelX 50616 KachelY + 1 49113 1.71115557 -1.15938267 98.041992 -66.427734
    Unten rechts KachelX + 1 50617 KachelY + 1 49113 1.71125144 -1.15938267 98.047485 -66.427734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15934433--1.15938267) × R
    3.83400000001366e-05 × 6371000     		dl = 244.26414000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15934433--1.15938267) × R
    3.83400000001366e-05 × 6371000     		dr = 244.26414000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71115557-1.71125144) × cos(-1.15934433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399940563818873 × 6371000     		do = 244.278805107467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71115557-1.71125144) × cos(-1.15938267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399905423340051 × 6371000     		du = 244.25734173277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15934433)-sin(-1.15938267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399940563818873-0.399905423340051)×R²
    abs(1.71125144-1.71115557)×3.51404788224152e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51404788224152e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51404788224152e-05×40589641000000     		ar = 59665.9308907799m²