Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50616 / 49111
↖ ↑ ↗
← S 66.423340°
E 98.041992°		 ← 244.30 m → S 66.423340°
E 98.047485°		 →
↑
244.26 m
↓
↑
244.26 m
↓
S 66.425537°
E 98.041992°		 ← 244.28 m →
59 671 m²		 S 66.425537°
E 98.047485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772346496582031 y=0.749382019042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772346496582031 × 216)
    floor (0.772346496582031 × 65536)
    floor (50616.5)     		tx = 50616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749382019042969 × 216)
    floor (0.749382019042969 × 65536)
    floor (49111.5)     		ty = 49111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50616 / 49111 ti = "16/50616/49111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50616/49111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50616 ÷ 216
    50616 ÷ 65536     		x = 0.7723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49111 ÷ 216
    49111 ÷ 65536     		y = 0.749374389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7723388671875 × 2 - 1) × π
    0.544677734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71115557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749374389648438 × 2 - 1) × π
    -0.498748779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56686550098116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71115557} λ = 1.71115557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56686550098116))-π/2
    2×atan(0.208698322876389)-π/2
    2×0.205745170634423-π/2
    0.411490341268846-1.57079632675     		φ = -1.15930599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71115557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15930599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.423340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50616 KachelY 49111 1.71115557 -1.15930599 98.041992 -66.423340
    Oben rechts KachelX + 1 50617 KachelY 49111 1.71125144 -1.15930599 98.047485 -66.423340
    Unten links KachelX 50616 KachelY + 1 49112 1.71115557 -1.15934433 98.041992 -66.425537
    Unten rechts KachelX + 1 50617 KachelY + 1 49112 1.71125144 -1.15934433 98.047485 -66.425537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15930599--1.15934433) × R
    3.83399999999146e-05 × 6371000     		dl = 244.264139999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15930599--1.15934433) × R
    3.83399999999146e-05 × 6371000     		dr = 244.264139999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71115557-1.71125144) × cos(-1.15930599) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399975703709801 × 6371000     		do = 244.300268123085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71115557-1.71125144) × cos(-1.15934433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399940563818873 × 6371000     		du = 244.278805107467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15930599)-sin(-1.15934433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399975703709801-0.399940563818873)×R²
    abs(1.71125144-1.71115557)×3.51398909273493e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51398909273493e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51398909273493e-05×40589641000000     		ar = 59671.1735798739m²