Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50615 / 48541
↖ ↑ ↗
← S 65.139187°
E 98.036499°		 ← 256.78 m → S 65.139187°
E 98.041992°		 →
↑
256.82 m
↓
↑
256.82 m
↓
S 65.141497°
E 98.036499°		 ← 256.76 m →
65 943 m²		 S 65.141497°
E 98.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772331237792969 y=0.740684509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772331237792969 × 216)
    floor (0.772331237792969 × 65536)
    floor (50615.5)     		tx = 50615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740684509277344 × 216)
    floor (0.740684509277344 × 65536)
    floor (48541.5)     		ty = 48541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50615 / 48541 ti = "16/50615/48541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50615/48541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50615 ÷ 216
    50615 ÷ 65536     		x = 0.772323608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48541 ÷ 216
    48541 ÷ 65536     		y = 0.740676879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772323608398438 × 2 - 1) × π
    0.544647216796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71105970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740676879882812 × 2 - 1) × π
    -0.481353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51221743541429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71105970} λ = 1.71105970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51221743541429))-π/2
    2×atan(0.220420667059036)-π/2
    2×0.216951516255814-π/2
    0.433903032511628-1.57079632675     		φ = -1.13689329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71105970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.036499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13689329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.139187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50615 KachelY 48541 1.71105970 -1.13689329 98.036499 -65.139187
    Oben rechts KachelX + 1 50616 KachelY 48541 1.71115557 -1.13689329 98.041992 -65.139187
    Unten links KachelX 50615 KachelY + 1 48542 1.71105970 -1.13693360 98.036499 -65.141497
    Unten rechts KachelX + 1 50616 KachelY + 1 48542 1.71115557 -1.13693360 98.041992 -65.141497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13689329--1.13693360) × R
    4.03100000001544e-05 × 6371000     		dl = 256.815010000984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13689329--1.13693360) × R
    4.03100000001544e-05 × 6371000     		dr = 256.815010000984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71105970-1.71115557) × cos(-1.13689329) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420415344950448 × 6371000     		do = 256.784551016059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71105970-1.71115557) × cos(-1.13693360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420378770065312 × 6371000     		du = 256.762211523529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13689329)-sin(-1.13693360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420415344950448-0.420378770065312)×R²
    abs(1.71115557-1.71105970)×3.65748851351988e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65748851351988e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65748851351988e-05×40589641000000     		ar = 65943.2584877095m²