Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50614 / 48990
↖ ↑ ↗
← S 66.156070°
E 98.031006°		 ← 246.93 m → S 66.156070°
E 98.036499°		 →
↑
246.88 m
↓
↑
246.88 m
↓
S 66.158290°
E 98.031006°		 ← 246.91 m →
60 960 m²		 S 66.158290°
E 98.036499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772315979003906 y=0.747535705566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772315979003906 × 216)
    floor (0.772315979003906 × 65536)
    floor (50614.5)     		tx = 50614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747535705566406 × 216)
    floor (0.747535705566406 × 65536)
    floor (48990.5)     		ty = 48990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50614 / 48990 ti = "16/50614/48990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50614/48990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50614 ÷ 216
    50614 ÷ 65536     		x = 0.772308349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48990 ÷ 216
    48990 ÷ 65536     		y = 0.747528076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772308349609375 × 2 - 1) × π
    0.54461669921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71096382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.49505615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5552647712731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71096382} λ = 1.71096382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5552647712731))-π/2
    2×atan(0.211133473161202)-π/2
    2×0.208077544637273-π/2
    0.416155089274545-1.57079632675     		φ = -1.15464124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71096382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.031006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15464124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.156070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50614 KachelY 48990 1.71096382 -1.15464124 98.031006 -66.156070
    Oben rechts KachelX + 1 50615 KachelY 48990 1.71105970 -1.15464124 98.036499 -66.156070
    Unten links KachelX 50614 KachelY + 1 48991 1.71096382 -1.15467999 98.031006 -66.158290
    Unten rechts KachelX + 1 50615 KachelY + 1 48991 1.71105970 -1.15467999 98.036499 -66.158290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15464124--1.15467999) × R
    3.87500000000873e-05 × 6371000     		dl = 246.876250000556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15464124--1.15467999) × R
    3.87500000000873e-05 × 6371000     		dr = 246.876250000556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71096382-1.71105970) × cos(-1.15464124) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.404246699955056 × 6371000     		do = 246.934694953072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71096382-1.71105970) × cos(-1.15467999) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.404211256964422 × 6371000     		du = 246.913044549787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15464124)-sin(-1.15467999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404246699955056-0.404211256964422)×R²
    abs(1.71105970-1.71096382)×3.54429906335163e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.54429906335163e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.54429906335163e-05×40589641000000     		ar = 60959.63900742m²