Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50612 / 49044
↖ ↑ ↗
← S 66.275698°
E 98.020019°		 ← 245.77 m → S 66.275698°
E 98.025513°		 →
↑
245.73 m
↓
↑
245.73 m
↓
S 66.277908°
E 98.020019°		 ← 245.75 m →
60 390 m²		 S 66.277908°
E 98.025513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772285461425781 y=0.748359680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772285461425781 × 216)
    floor (0.772285461425781 × 65536)
    floor (50612.5)     		tx = 50612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748359680175781 × 216)
    floor (0.748359680175781 × 65536)
    floor (49044.5)     		ty = 49044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50612 / 49044 ti = "16/50612/49044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50612/49044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50612 ÷ 216
    50612 ÷ 65536     		x = 0.77227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49044 ÷ 216
    49044 ÷ 65536     		y = 0.74835205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77227783203125 × 2 - 1) × π
    0.5445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71077207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74835205078125 × 2 - 1) × π
    -0.4967041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56044195643207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71077207} λ = 1.71077207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56044195643207))-π/2
    2×atan(0.21004322073193)-π/2
    2×0.20703358906341-π/2
    0.41406717812682-1.57079632675     		φ = -1.15672915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71077207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.020019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15672915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.275698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50612 KachelY 49044 1.71077207 -1.15672915 98.020019 -66.275698
    Oben rechts KachelX + 1 50613 KachelY 49044 1.71086795 -1.15672915 98.025513 -66.275698
    Unten links KachelX 50612 KachelY + 1 49045 1.71077207 -1.15676772 98.020019 -66.277908
    Unten rechts KachelX + 1 50613 KachelY + 1 49045 1.71086795 -1.15676772 98.025513 -66.277908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15672915--1.15676772) × R
    3.8569999999849e-05 × 6371000     		dl = 245.729469999038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15672915--1.15676772) × R
    3.8569999999849e-05 × 6371000     		dr = 245.729469999038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71077207-1.71086795) × cos(-1.15672915) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.402336113350614 × 6371000     		do = 245.767610297509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71077207-1.71086795) × cos(-1.15676772) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.402300802523866 × 6371000     		du = 245.74604062673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15672915)-sin(-1.15676772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402336113350614-0.402300802523866)×R²
    abs(1.71086795-1.71077207)×3.53108267474034e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.53108267474034e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.53108267474034e-05×40589641000000     		ar = 60389.6944769056m²