Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50611 / 48947
↖ ↑ ↗
← S 66.060404°
E 98.014526°		 ← 247.84 m → S 66.060404°
E 98.020019°		 →
↑
247.83 m
↓
↑
247.83 m
↓
S 66.062633°
E 98.014526°		 ← 247.82 m →
61 420 m²		 S 66.062633°
E 98.020019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772270202636719 y=0.746879577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772270202636719 × 216)
    floor (0.772270202636719 × 65536)
    floor (50611.5)     		tx = 50611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746879577636719 × 216)
    floor (0.746879577636719 × 65536)
    floor (48947.5)     		ty = 48947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50611 / 48947 ti = "16/50611/48947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50611/48947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50611 ÷ 216
    50611 ÷ 65536     		x = 0.772262573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48947 ÷ 216
    48947 ÷ 65536     		y = 0.746871948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772262573242188 × 2 - 1) × π
    0.544525146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71067620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746871948242188 × 2 - 1) × π
    -0.493743896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55114219790578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71067620} λ = 1.71067620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55114219790578))-π/2
    2×atan(0.212005683033892)-π/2
    2×0.208912385577755-π/2
    0.41782477115551-1.57079632675     		φ = -1.15297156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71067620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.014526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15297156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.060404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50611 KachelY 48947 1.71067620 -1.15297156 98.014526 -66.060404
    Oben rechts KachelX + 1 50612 KachelY 48947 1.71077207 -1.15297156 98.020019 -66.060404
    Unten links KachelX 50611 KachelY + 1 48948 1.71067620 -1.15301046 98.014526 -66.062633
    Unten rechts KachelX + 1 50612 KachelY + 1 48948 1.71077207 -1.15301046 98.020019 -66.062633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15297156--1.15301046) × R
    3.89000000000639e-05 × 6371000     		dl = 247.831900000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15297156--1.15301046) × R
    3.89000000000639e-05 × 6371000     		dr = 247.831900000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71067620-1.71077207) × cos(-1.15297156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405773308556354 × 6371000     		do = 247.841374258652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71067620-1.71077207) × cos(-1.15301046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405737754670342 × 6371000     		du = 247.8196583799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15297156)-sin(-1.15301046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405773308556354-0.405737754670342)×R²
    abs(1.71077207-1.71067620)×3.5553886011841e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5553886011841e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5553886011841e-05×40589641000000     		ar = 61420.3077455779m²