Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50610 / 49074
↖ ↑ ↗
← S 66.341914°
E 98.009033°		 ← 245.10 m → S 66.341914°
E 98.014526°		 →
↑
245.09 m
↓
↑
245.09 m
↓
S 66.344118°
E 98.009033°		 ← 245.07 m →
60 068 m²		 S 66.344118°
E 98.014526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772254943847656 y=0.748817443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772254943847656 × 216)
    floor (0.772254943847656 × 65536)
    floor (50610.5)     		tx = 50610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748817443847656 × 216)
    floor (0.748817443847656 × 65536)
    floor (49074.5)     		ty = 49074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50610 / 49074 ti = "16/50610/49074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50610/49074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50610 ÷ 216
    50610 ÷ 65536     		x = 0.772247314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49074 ÷ 216
    49074 ÷ 65536     		y = 0.748809814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772247314453125 × 2 - 1) × π
    0.54449462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71058033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748809814453125 × 2 - 1) × π
    -0.49761962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56331817040927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71058033} λ = 1.71058033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56331817040927))-π/2
    2×atan(0.209439959454782)-π/2
    2×0.206455747919515-π/2
    0.412911495839031-1.57079632675     		φ = -1.15788483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71058033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.009033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15788483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.341914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50610 KachelY 49074 1.71058033 -1.15788483 98.009033 -66.341914
    Oben rechts KachelX + 1 50611 KachelY 49074 1.71067620 -1.15788483 98.014526 -66.341914
    Unten links KachelX 50610 KachelY + 1 49075 1.71058033 -1.15792330 98.009033 -66.344118
    Unten rechts KachelX + 1 50611 KachelY + 1 49075 1.71067620 -1.15792330 98.014526 -66.344118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15788483--1.15792330) × R
    3.84700000000127e-05 × 6371000     		dl = 245.092370000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15788483--1.15792330) × R
    3.84700000000127e-05 × 6371000     		dr = 245.092370000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71058033-1.71067620) × cos(-1.15788483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401277829080841 × 6371000     		do = 245.095590374723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71058033-1.71067620) × cos(-1.15792330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401242591941687 × 6371000     		du = 245.074067961078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15788483)-sin(-1.15792330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401277829080841-0.401242591941687)×R²
    abs(1.71067620-1.71058033)×3.52371391539874e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52371391539874e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52371391539874e-05×40589641000000     		ar = 60068.4216390261m²