Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50609 / 48574
↖ ↑ ↗
← S 65.215289°
E 98.003540°		 ← 256.07 m → S 65.215289°
E 98.009033°		 →
↑
256.05 m
↓
↑
256.05 m
↓
S 65.217591°
E 98.003540°		 ← 256.05 m →
65 565 m²		 S 65.217591°
E 98.009033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772239685058594 y=0.741188049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772239685058594 × 216)
    floor (0.772239685058594 × 65536)
    floor (50609.5)     		tx = 50609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741188049316406 × 216)
    floor (0.741188049316406 × 65536)
    floor (48574.5)     		ty = 48574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50609 / 48574 ti = "16/50609/48574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50609/48574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50609 ÷ 216
    50609 ÷ 65536     		x = 0.772232055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48574 ÷ 216
    48574 ÷ 65536     		y = 0.741180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772232055664062 × 2 - 1) × π
    0.544464111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71048445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741180419921875 × 2 - 1) × π
    -0.48236083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51538127078922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71048445} λ = 1.71048445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51538127078922))-π/2
    2×atan(0.219724394382092)-π/2
    2×0.216287407654577-π/2
    0.432574815309154-1.57079632675     		φ = -1.13822151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71048445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.003540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13822151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.215289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50609 KachelY 48574 1.71048445 -1.13822151 98.003540 -65.215289
    Oben rechts KachelX + 1 50610 KachelY 48574 1.71058033 -1.13822151 98.009033 -65.215289
    Unten links KachelX 50609 KachelY + 1 48575 1.71048445 -1.13826170 98.003540 -65.217591
    Unten rechts KachelX + 1 50610 KachelY + 1 48575 1.71058033 -1.13826170 98.009033 -65.217591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13822151--1.13826170) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dl = 256.050489999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13822151--1.13826170) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dr = 256.050489999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71048445-1.71058033) × cos(-1.13822151) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.419209838261855 × 6371000     		do = 256.074950132647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71048445-1.71058033) × cos(-1.13826170) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.419173349849449 × 6371000     		du = 256.052661131926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13822151)-sin(-1.13826170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419209838261855-0.419173349849449)×R²
    abs(1.71058033-1.71048445)×3.64884124059994e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.64884124059994e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.64884124059994e-05×40589641000000     		ar = 65565.2629122912m²