Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50609 / 48531
↖ ↑ ↗
← S 65.116083°
E 98.003540°		 ← 257.03 m → S 65.116083°
E 98.009033°		 →
↑
257.01 m
↓
↑
257.01 m
↓
S 65.118395°
E 98.003540°		 ← 257.01 m →
66 057 m²		 S 65.118395°
E 98.009033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772239685058594 y=0.740531921386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772239685058594 × 216)
    floor (0.772239685058594 × 65536)
    floor (50609.5)     		tx = 50609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740531921386719 × 216)
    floor (0.740531921386719 × 65536)
    floor (48531.5)     		ty = 48531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50609 / 48531 ti = "16/50609/48531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50609/48531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50609 ÷ 216
    50609 ÷ 65536     		x = 0.772232055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48531 ÷ 216
    48531 ÷ 65536     		y = 0.740524291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772232055664062 × 2 - 1) × π
    0.544464111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71048445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740524291992188 × 2 - 1) × π
    -0.481048583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51125869742189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71048445} λ = 1.71048445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51125869742189))-π/2
    2×atan(0.220632094062211)-π/2
    2×0.217153138012394-π/2
    0.434306276024788-1.57079632675     		φ = -1.13649005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71048445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.003540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13649005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.116083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50609 KachelY 48531 1.71048445 -1.13649005 98.003540 -65.116083
    Oben rechts KachelX + 1 50610 KachelY 48531 1.71058033 -1.13649005 98.009033 -65.116083
    Unten links KachelX 50609 KachelY + 1 48532 1.71048445 -1.13653039 98.003540 -65.118395
    Unten rechts KachelX + 1 50610 KachelY + 1 48532 1.71058033 -1.13653039 98.009033 -65.118395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13649005--1.13653039) × R
    4.03399999999721e-05 × 6371000     		dl = 257.006139999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13649005--1.13653039) × R
    4.03399999999721e-05 × 6371000     		dr = 257.006139999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71048445-1.71058033) × cos(-1.13649005) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.420781183222482 × 6371000     		do = 257.034808527435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71048445-1.71058033) × cos(-1.13653039) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.420744587958334 × 6371000     		du = 257.01245425617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13649005)-sin(-1.13653039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420781183222482-0.420744587958334)×R²
    abs(1.71058033-1.71048445)×3.65952641477874e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.65952641477874e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.65952641477874e-05×40589641000000     		ar = 66056.6514017175m²