Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50606 / 48554
↖ ↑ ↗
← S 65.169193°
E 97.987060°		 ← 256.49 m → S 65.169193°
E 97.992553°		 →
↑
256.50 m
↓
↑
256.50 m
↓
S 65.171500°
E 97.987060°		 ← 256.47 m →
65 787 m²		 S 65.171500°
E 97.992553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772193908691406 y=0.740882873535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772193908691406 × 216)
    floor (0.772193908691406 × 65536)
    floor (50606.5)     		tx = 50606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740882873535156 × 216)
    floor (0.740882873535156 × 65536)
    floor (48554.5)     		ty = 48554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50606 / 48554 ti = "16/50606/48554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50606/48554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50606 ÷ 216
    50606 ÷ 65536     		x = 0.772186279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48554 ÷ 216
    48554 ÷ 65536     		y = 0.740875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772186279296875 × 2 - 1) × π
    0.54437255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71019683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.48175048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51346379480441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71019683} λ = 1.71019683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51346379480441))-π/2
    2×atan(0.220146114821791)-π/2
    2×0.216689670047549-π/2
    0.433379340095098-1.57079632675     		φ = -1.13741699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71019683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.987060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13741699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.169193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50606 KachelY 48554 1.71019683 -1.13741699 97.987060 -65.169193
    Oben rechts KachelX + 1 50607 KachelY 48554 1.71029270 -1.13741699 97.992553 -65.169193
    Unten links KachelX 50606 KachelY + 1 48555 1.71019683 -1.13745725 97.987060 -65.171500
    Unten rechts KachelX + 1 50607 KachelY + 1 48555 1.71029270 -1.13745725 97.992553 -65.171500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13741699--1.13745725) × R
    4.02600000000142e-05 × 6371000     		dl = 256.49646000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13741699--1.13745725) × R
    4.02600000000142e-05 × 6371000     		dr = 256.49646000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71019683-1.71029270) × cos(-1.13741699) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.419940117673209 × 6371000     		do = 256.494288007746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71019683-1.71029270) × cos(-1.13745725) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.419903579296799 × 6371000     		du = 256.471970814298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13741699)-sin(-1.13745725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419940117673209-0.419903579296799)×R²
    abs(1.71029270-1.71019683)×3.65383764103222e-05×R²
    9.58700000002199e-05×3.65383764103222e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×3.65383764103222e-05×40589641000000     		ar = 65787.0147524054m²