Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50605 / 49067
↖ ↑ ↗
← S 66.326479°
E 97.981568°		 ← 245.25 m → S 66.326479°
E 97.987060°		 →
↑
245.28 m
↓
↑
245.28 m
↓
S 66.328685°
E 97.981568°		 ← 245.22 m →
60 152 m²		 S 66.328685°
E 97.987060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772178649902344 y=0.748710632324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772178649902344 × 216)
    floor (0.772178649902344 × 65536)
    floor (50605.5)     		tx = 50605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748710632324219 × 216)
    floor (0.748710632324219 × 65536)
    floor (49067.5)     		ty = 49067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50605 / 49067 ti = "16/50605/49067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50605/49067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50605 ÷ 216
    50605 ÷ 65536     		x = 0.772171020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49067 ÷ 216
    49067 ÷ 65536     		y = 0.748703002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772171020507812 × 2 - 1) × π
    0.544342041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71010096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748703002929688 × 2 - 1) × π
    -0.497406005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56264705381459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71010096} λ = 1.71010096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56264705381459))-π/2
    2×atan(0.209580565263329)-π/2
    2×0.206590441417397-π/2
    0.413180882834793-1.57079632675     		φ = -1.15761544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71010096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.981568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15761544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.326479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50605 KachelY 49067 1.71010096 -1.15761544 97.981568 -66.326479
    Oben rechts KachelX + 1 50606 KachelY 49067 1.71019683 -1.15761544 97.987060 -66.326479
    Unten links KachelX 50605 KachelY + 1 49068 1.71010096 -1.15765394 97.981568 -66.328685
    Unten rechts KachelX + 1 50606 KachelY + 1 49068 1.71019683 -1.15765394 97.987060 -66.328685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15761544--1.15765394) × R
    3.85000000000524e-05 × 6371000     		dl = 245.283500000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15761544--1.15765394) × R
    3.85000000000524e-05 × 6371000     		dr = 245.283500000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71010096-1.71019683) × cos(-1.15761544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401524564008537 × 6371000     		do = 245.246293050991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71010096-1.71019683) × cos(-1.15765394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401489303553184 × 6371000     		du = 245.224756396097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15761544)-sin(-1.15765394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401524564008537-0.401489303553184)×R²
    abs(1.71019683-1.71010096)×3.52604553532365e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52604553532365e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52604553532365e-05×40589641000000     		ar = 60152.2278359212m²