Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50602 / 49505
↖ ↑ ↗
← S 67.274165°
E 97.965088°		 ← 235.96 m → S 67.274165°
E 97.970581°		 →
↑
235.98 m
↓
↑
235.98 m
↓
S 67.276287°
E 97.965088°		 ← 235.94 m →
55 680 m²		 S 67.276287°
E 97.970581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772132873535156 y=0.755393981933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772132873535156 × 216)
    floor (0.772132873535156 × 65536)
    floor (50602.5)     		tx = 50602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755393981933594 × 216)
    floor (0.755393981933594 × 65536)
    floor (49505.5)     		ty = 49505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50602 / 49505 ti = "16/50602/49505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50602/49505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50602 ÷ 216
    50602 ÷ 65536     		x = 0.772125244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49505 ÷ 216
    49505 ÷ 65536     		y = 0.755386352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772125244140625 × 2 - 1) × π
    0.54425048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70981334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755386352539062 × 2 - 1) × π
    -0.510772705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60463977788176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70981334} λ = 1.70981334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60463977788176))-π/2
    2×atan(0.200961932806511)-π/2
    2×0.198320323907691-π/2
    0.396640647815382-1.57079632675     		φ = -1.17415568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70981334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.965088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17415568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.274165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50602 KachelY 49505 1.70981334 -1.17415568 97.965088 -67.274165
    Oben rechts KachelX + 1 50603 KachelY 49505 1.70990921 -1.17415568 97.970581 -67.274165
    Unten links KachelX 50602 KachelY + 1 49506 1.70981334 -1.17419272 97.965088 -67.276287
    Unten rechts KachelX + 1 50603 KachelY + 1 49506 1.70990921 -1.17419272 97.970581 -67.276287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17415568--1.17419272) × R
    3.70400000000437e-05 × 6371000     		dl = 235.981840000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17415568--1.17419272) × R
    3.70400000000437e-05 × 6371000     		dr = 235.981840000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70981334-1.70990921) × cos(-1.17415568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386321981585718 × 6371000     		do = 235.960741634717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70981334-1.70990921) × cos(-1.17419272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386287816958597 × 6371000     		du = 235.939874298304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17415568)-sin(-1.17419272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386321981585718-0.386287816958597)×R²
    abs(1.70990921-1.70981334)×3.41646271209139e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.41646271209139e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.41646271209139e-05×40589641000000     		ar = 55679.9878291436m²