Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50602 / 49504
↖ ↑ ↗
← S 67.272043°
E 97.965088°		 ← 235.98 m → S 67.272043°
E 97.970581°		 →
↑
235.98 m
↓
↑
235.98 m
↓
S 67.274165°
E 97.965088°		 ← 235.96 m →
55 685 m²		 S 67.274165°
E 97.970581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772132873535156 y=0.755378723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772132873535156 × 216)
    floor (0.772132873535156 × 65536)
    floor (50602.5)     		tx = 50602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755378723144531 × 216)
    floor (0.755378723144531 × 65536)
    floor (49504.5)     		ty = 49504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50602 / 49504 ti = "16/50602/49504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50602/49504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50602 ÷ 216
    50602 ÷ 65536     		x = 0.772125244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49504 ÷ 216
    49504 ÷ 65536     		y = 0.75537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772125244140625 × 2 - 1) × π
    0.54425048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70981334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75537109375 × 2 - 1) × π
    -0.5107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60454390408252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70981334} λ = 1.70981334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60454390408252))-π/2
    2×atan(0.200981200714141)-π/2
    2×0.198338843804634-π/2
    0.396677687609269-1.57079632675     		φ = -1.17411864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70981334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.965088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17411864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.272043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50602 KachelY 49504 1.70981334 -1.17411864 97.965088 -67.272043
    Oben rechts KachelX + 1 50603 KachelY 49504 1.70990921 -1.17411864 97.970581 -67.272043
    Unten links KachelX 50602 KachelY + 1 49505 1.70981334 -1.17415568 97.965088 -67.274165
    Unten rechts KachelX + 1 50603 KachelY + 1 49505 1.70990921 -1.17415568 97.970581 -67.274165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17411864--1.17415568) × R
    3.70399999998217e-05 × 6371000     		dl = 235.981839998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17411864--1.17415568) × R
    3.70399999998217e-05 × 6371000     		dr = 235.981839998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70981334-1.70990921) × cos(-1.17411864) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38635614568282 × 6371000     		do = 235.981608647399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70981334-1.70990921) × cos(-1.17415568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386321981585718 × 6371000     		du = 235.960741634717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17411864)-sin(-1.17415568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38635614568282-0.386321981585718)×R²
    abs(1.70990921-1.70981334)×3.41640971017743e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.41640971017743e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.41640971017743e-05×40589641000000     		ar = 55684.9121029414m²