Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50601 / 49269
↖ ↑ ↗
← S 66.768086°
E 97.959595°		 ← 240.95 m → S 66.768086°
E 97.965088°		 →
↑
240.95 m
↓
↑
240.95 m
↓
S 66.770253°
E 97.959595°		 ← 240.93 m →
58 055 m²		 S 66.770253°
E 97.965088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772117614746094 y=0.751792907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772117614746094 × 216)
    floor (0.772117614746094 × 65536)
    floor (50601.5)     		tx = 50601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751792907714844 × 216)
    floor (0.751792907714844 × 65536)
    floor (49269.5)     		ty = 49269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50601 / 49269 ti = "16/50601/49269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50601/49269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50601 ÷ 216
    50601 ÷ 65536     		x = 0.772109985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49269 ÷ 216
    49269 ÷ 65536     		y = 0.751785278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772109985351562 × 2 - 1) × π
    0.544219970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70971746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751785278320312 × 2 - 1) × π
    -0.503570556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58201356126109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70971746} λ = 1.70971746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58201356126109))-π/2
    2×atan(0.205560772001972)-π/2
    2×0.202736693463272-π/2
    0.405473386926543-1.57079632675     		φ = -1.16532294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70971746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.959595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16532294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.768086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50601 KachelY 49269 1.70971746 -1.16532294 97.959595 -66.768086
    Oben rechts KachelX + 1 50602 KachelY 49269 1.70981334 -1.16532294 97.965088 -66.768086
    Unten links KachelX 50601 KachelY + 1 49270 1.70971746 -1.16536076 97.959595 -66.770253
    Unten rechts KachelX + 1 50602 KachelY + 1 49270 1.70981334 -1.16536076 97.965088 -66.770253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16532294--1.16536076) × R
    3.78199999999662e-05 × 6371000     		dl = 240.951219999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16532294--1.16536076) × R
    3.78199999999662e-05 × 6371000     		dr = 240.951219999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70971746-1.70981334) × cos(-1.16532294) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.394453807143679 × 6371000     		do = 240.952691885193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70971746-1.70981334) × cos(-1.16536076) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.394419053467127 × 6371000     		du = 240.931462550436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16532294)-sin(-1.16536076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394453807143679-0.394419053467127)×R²
    abs(1.70981334-1.70971746)×3.47536765515355e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.47536765515355e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.47536765515355e-05×40589641000000     		ar = 58055.2874616179m²