Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50600 / 49128
↖ ↑ ↗
← S 66.460663°
E 97.954102°		 ← 243.94 m → S 66.460663°
E 97.959595°		 →
↑
243.95 m
↓
↑
243.95 m
↓
S 66.462857°
E 97.954102°		 ← 243.91 m →
59 504 m²		 S 66.462857°
E 97.959595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772102355957031 y=0.749641418457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772102355957031 × 216)
    floor (0.772102355957031 × 65536)
    floor (50600.5)     		tx = 50600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749641418457031 × 216)
    floor (0.749641418457031 × 65536)
    floor (49128.5)     		ty = 49128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50600 / 49128 ti = "16/50600/49128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50600/49128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50600 ÷ 216
    50600 ÷ 65536     		x = 0.7720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49128 ÷ 216
    49128 ÷ 65536     		y = 0.7496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7720947265625 × 2 - 1) × π
    0.544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70962159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56849535556824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70962159} λ = 1.70962159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56849535556824))-π/2
    2×atan(0.208358452002821)-π/2
    2×0.205419462868733-π/2
    0.410838925737465-1.57079632675     		φ = -1.15995740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70962159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.954102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15995740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.460663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50600 KachelY 49128 1.70962159 -1.15995740 97.954102 -66.460663
    Oben rechts KachelX + 1 50601 KachelY 49128 1.70971746 -1.15995740 97.959595 -66.460663
    Unten links KachelX 50600 KachelY + 1 49129 1.70962159 -1.15999569 97.954102 -66.462857
    Unten rechts KachelX + 1 50601 KachelY + 1 49129 1.70971746 -1.15999569 97.959595 -66.462857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15995740--1.15999569) × R
    3.82899999999964e-05 × 6371000     		dl = 243.945589999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15995740--1.15999569) × R
    3.82899999999964e-05 × 6371000     		dr = 243.945589999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70962159-1.70971746) × cos(-1.15995740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399378584856342 × 6371000     		do = 243.935555230156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70962159-1.70971746) × cos(-1.15999569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399343480823963 × 6371000     		du = 243.914114116501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15995740)-sin(-1.15999569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399378584856342-0.399343480823963)×R²
    abs(1.70971746-1.70962159)×3.51040323794405e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51040323794405e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51040323794405e-05×40589641000000     		ar = 59504.3877172466m²