Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50600 / 49049
↖ ↑ ↗
← S 66.286746°
E 97.954102°		 ← 245.63 m → S 66.286746°
E 97.959595°		 →
↑
245.67 m
↓
↑
245.67 m
↓
S 66.288955°
E 97.954102°		 ← 245.61 m →
60 341 m²		 S 66.288955°
E 97.959595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772102355957031 y=0.748435974121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772102355957031 × 216)
    floor (0.772102355957031 × 65536)
    floor (50600.5)     		tx = 50600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748435974121094 × 216)
    floor (0.748435974121094 × 65536)
    floor (49049.5)     		ty = 49049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50600 / 49049 ti = "16/50600/49049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50600/49049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50600 ÷ 216
    50600 ÷ 65536     		x = 0.7720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49049 ÷ 216
    49049 ÷ 65536     		y = 0.748428344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7720947265625 × 2 - 1) × π
    0.544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70962159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748428344726562 × 2 - 1) × π
    -0.496856689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56092132542827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70962159} λ = 1.70962159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56092132542827))-π/2
    2×atan(0.209942556653596)-π/2
    2×0.206937176491605-π/2
    0.41387435298321-1.57079632675     		φ = -1.15692197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70962159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.954102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15692197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.286746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50600 KachelY 49049 1.70962159 -1.15692197 97.954102 -66.286746
    Oben rechts KachelX + 1 50601 KachelY 49049 1.70971746 -1.15692197 97.959595 -66.286746
    Unten links KachelX 50600 KachelY + 1 49050 1.70962159 -1.15696053 97.954102 -66.288955
    Unten rechts KachelX + 1 50601 KachelY + 1 49050 1.70971746 -1.15696053 97.959595 -66.288955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15692197--1.15696053) × R
    3.85600000001318e-05 × 6371000     		dl = 245.66576000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15692197--1.15696053) × R
    3.85600000001318e-05 × 6371000     		dr = 245.66576000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70962159-1.70971746) × cos(-1.15692197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402159580699682 × 6371000     		do = 245.634153479688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70962159-1.70971746) × cos(-1.15696053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402124276037372 × 6371000     		du = 245.612589823726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15692197)-sin(-1.15696053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402159580699682-0.402124276037372)×R²
    abs(1.70971746-1.70962159)×3.53046623097764e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53046623097764e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53046623097764e-05×40589641000000     		ar = 60341.2522781643m²