Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50600 / 48564
↖ ↑ ↗
← S 65.192251°
E 97.954102°		 ← 256.27 m → S 65.192251°
E 97.959595°		 →
↑
256.31 m
↓
↑
256.31 m
↓
S 65.194556°
E 97.954102°		 ← 256.25 m →
65 681 m²		 S 65.194556°
E 97.959595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772102355957031 y=0.741035461425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772102355957031 × 216)
    floor (0.772102355957031 × 65536)
    floor (50600.5)     		tx = 50600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741035461425781 × 216)
    floor (0.741035461425781 × 65536)
    floor (48564.5)     		ty = 48564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50600 / 48564 ti = "16/50600/48564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50600/48564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50600 ÷ 216
    50600 ÷ 65536     		x = 0.7720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48564 ÷ 216
    48564 ÷ 65536     		y = 0.74102783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7720947265625 × 2 - 1) × π
    0.544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70962159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74102783203125 × 2 - 1) × π
    -0.4820556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51442253279681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70962159} λ = 1.70962159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51442253279681))-π/2
    2×atan(0.219935153522097)-π/2
    2×0.216488451332215-π/2
    0.43297690266443-1.57079632675     		φ = -1.13781942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70962159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.954102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13781942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.192251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50600 KachelY 48564 1.70962159 -1.13781942 97.954102 -65.192251
    Oben rechts KachelX + 1 50601 KachelY 48564 1.70971746 -1.13781942 97.959595 -65.192251
    Unten links KachelX 50600 KachelY + 1 48565 1.70962159 -1.13785965 97.954102 -65.194556
    Unten rechts KachelX + 1 50601 KachelY + 1 48565 1.70971746 -1.13785965 97.959595 -65.194556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13781942--1.13785965) × R
    4.02299999999745e-05 × 6371000     		dl = 256.305329999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13781942--1.13785965) × R
    4.02299999999745e-05 × 6371000     		dr = 256.305329999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70962159-1.70971746) × cos(-1.13781942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41957485760138 × 6371000     		do = 256.271191622409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70962159-1.70971746) × cos(-1.13785965) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419538339656554 × 6371000     		du = 256.248886908324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13781942)-sin(-1.13785965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41957485760138-0.419538339656554)×R²
    abs(1.70971746-1.70962159)×3.65179448258424e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65179448258424e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65179448258424e-05×40589641000000     		ar = 65680.8139385043m²